10.3 基本不等式及其应用(2)学案

10.3　基本不等式及其应用(二) [学习目标]　1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. [知识链接] 1.已知x，y都是正数，若x＋y＝s(和为定值)，那么xy有最大值还是最小值？如何求？ 答　xy有最大值.由基本不等式，得s＝x＋y≥2，所以xy≤，当x＝y＝时，积xy取得最大值. 2.已知x，y都是正数，若xy＝p(积为定值)，那么x＋y有最大值还是最小值？如何求？ 答　x＋y有最小值.由基本不等式，得x＋y≥2＝2.当x＝y＝时，x＋y取得最小值2. [预习导引] 1.用基本不等式求最值的结论 (1)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2. (2)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为. 2.基本不等式求最值的条件 (1)x，y必须是正数； (2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值. (3)等号成立的条件是否满足. 要点一　基本不等式与最值 例1　(1)若x>0，求函数y＝x＋的最小值，并求此时x的值； (2)设02，求x＋的最小值； (4)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 解　(1)当x>0时，x＋≥2＝4， 当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时，取等号. ∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4. (2)∵00， ∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)] ≤22＝. 当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立. ∵∈. ∴函数y＝4x(3－2x)(02，∴x－2>0， ∴x＋＝x－2＋＋2 ≥2＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立. ∴x＋的最小值为6. (4)方法一　∵x>0，y>0，＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当＝，又＋＝1， 即x＝4，y＝12时，上式取等号. 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 方法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值). 可知x>1，y>9， ∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10 ≥2＋10＝16， 当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号， 故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16. 规律方法　在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件. 跟踪演练1　若x>0，y>0，且＋＝1，求xy及x＋y的最小值. 解　∵x>0，y>0， ∴1＝＋≥2，得xy≥64， 当且仅当即时，取等号. ∴x＝4，y＝16时，xy有最小值64； 由x>0，y>0，正数x，y知，>0，>0， x＋y＝(x＋y)(＋)＝10＋＋ ≥10＋2＝18. 当且仅当即时，取等号. ∴x＝6，y＝12时，x＋y有最小值18. 要点二　基本不等式在实际问题中的应用 例2　某单位用2160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元). (1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式； (2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？ (注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝) 解　(1)依题意得y＝(560＋48x)＋ ＝560＋48x＋(x≥10，x∈N*). (2)∵x>0，∴48x＋≥2＝1440， 当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”， 此时，平均综合费用的最小值为560＋1440＝2000(元). 即　当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2000元. 规律方法　利用基本不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用基本不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件. 跟踪演练2　要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖 ... ...