沪科版八年级上册数学期末复习微专题11 三角形中的常见证明类型(含答案)

沪科版数学八年级上册 微专题11 三角形中的常见证明类型 类型一　证明数量关系 1. 如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF. 类型二　证明位置关系 2. 已知△ABC为等边三角形，点P在AB上，以CP为边长作等边三角形PCE，连接AE.求证：AE∥BC. 类型三　证明角的大小关系 3. 如图，已知C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于点E，点B，D分别在AM，AN上，且AE＝(AD＋AB).问：∠1和∠2有何关系？ 类型四　证明线段的倍分关系 4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE. 求证：AH＝2BD. 类型五　证明线段的和差关系 5. 如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC. 求证：AB＋BD＝AC. 类型六　证明线段的不等关系 6. 如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB>AC. 求证：AB－AC>PB－PC. 参考答案 1. 证明：连接AD.在△ABD和△ACD中，∵∴△ABD≌△ACD(SSS)，∴∠EAD＝∠FAD，即AD平分∠EAF.∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴DE＝DF. 2. 证明：∵△ABC，△PCE均为等边三角形，∴BC＝AC，PC＝EC，∠ACB＝∠B＝∠PCE＝60°.∴∠ACB－∠ACP＝∠PCE－∠ACP，即∠BCP＝∠ACE.在△CBP和△CAE中，∵∴△CBP≌△CAE(SAS).∴∠CAE＝∠B＝60°.∴∠CAE＝∠ACB.∴AE∥BC. 3. 解：∠1与∠2互补.理由如下：作CF⊥AN于点F(如图)，∵∠3＝∠4，CE⊥AM，∴CF＝CE，又∵AC＝AC，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AF＝AE.∵AE＝(AD＋AB)＝(AF－DF＋AE＋BE)＝AE＋(BE－DF)，∴BE－DF＝0，∴DF＝BE，又∵CF＝CE，∠CFD＝∠CEB＝90°，∴△DFC≌△BEC(SAS).∴∠5＝∠2.∵∠1＋∠5＝180°，∴∠1＋∠2＝180°，即∠1与∠2互补. 4. 证明：∵AD，BE是△ABC的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，又∵∠BHD＝∠AHE，∴∠EBC＝∠EAH.在△BCE和△AHE中，∵∴△BCE≌△AHE(ASA).∴AH＝BC.又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD.∴AH＝2BD. 5. 证明：如图，延长CB至E，使BE＝BA，则∠BAE＝∠E，∴∠ABC＝2∠E.又∵∠ABC＝2∠C，∴∠E＝∠C，∴AE＝AC.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.∵∠BAE＝∠E，∠E＝∠C，∴∠BAE＝∠C.又∵∠EAD＝∠BAE＋∠BAD，∠EDA＝∠C＋∠DAC，∴∠EAD＝∠EDA.∴AE＝DE.∴AC＝DE＝BE＋BD＝AB＋BD. 6. 证明：如图，在AB上截取AE，使AE＝AC，连接PE.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAP＝∠CAP.在△AEP和△ACP中，∵∴△AEP≌△ACP(SAS)，∴PE＝PC.在△PBE中，BE>PB－PE，即AB－AC>PB－PC.