中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】 【典型例题】 类型一、等腰三角形 1．（2019秋?自贡期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD． （1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； （2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状； （2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解． 【答案与解析】 解：（1）∵△OCD是等边三角形， ∴OC=CD， 而△ABC是等边三角形， ∴BC=AC， ∵∠ACB=∠OCD=60°， ∴∠BCO=∠ACD， 在△BOC与△ADC中， ∵， ∴△BOC≌△ADC， ∴∠BOC=∠ADC， 而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°， ∴∠ADO=150°﹣60°=90°， ∴△ADO是直角三角形； （2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d， 则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°， ∴b﹣d=10°， ∴（60°﹣a）﹣d=10°， ∴a+d=50°， 即∠CAO=50°， ①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO， ∴190°﹣α=α﹣60°， ∴α=125°； ②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO， ∴α﹣60°=50°， ∴α=110°； ③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD， ∴190°﹣α=50°， ∴α=140°． 所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形． 【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键． 举一反三： 【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是_____． 【答案】. 2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF． (1)求证:AE=AF． (2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形． 【思路点拨】菱形的定义和性质. 【答案与解析】 (1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD,∠B=∠D ， 又∵BE=DF，∴≌ ． ∴AE=AF． (2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD， ∴AB=AC=AD， ∵AB=BC=CD=DA , ∴△ABC和△ACD都是等边三角形． ∴, ． ∴． 又∵AE=AF ∴是等边三角形． 【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质. 举一反三： 【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE. 求证：CE=DE. 【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF， ∵等边△ABC， ∴AB＝BC＝AC，∠B＝60． ∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF， ∴BF＝BE， ∴等边△BEF， ∴EF＝BE，∠F＝∠B， ∴△BCE≌△FDE（SAS）． ∴CE＝DE． 类型二、直角三角形 3．（2019秋?东海县校级期中）如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF． （1）求证：BE⊥AC； （2）若∠A=50°，求∠FME的度数． 【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出ME=BM=CM=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明； （2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可得解． 【答案与解析】（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点， ∴MF=BM=CM=BC， ∵ME=MF， ∴ME=BM=CM=BC， ∴BE⊥AC； （2）解：∵∠A=50°， ∴∠ABC+∠ACB=180° ... ...
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