理科数学答案 一．选择题： 1.解:，，.故选B. 2.解:设(),则，，,，故选C. 3.解:,,,化简得,.故选B. 4.解:由图可知，甲的众数是，乙的中位数是与的平均数， ，，故选C. 5.解:设，联立方程组，得，则，又直线经过的焦点，则，故选D. 6.解:为奇函数，故排除B，又，且.故选A. 7.解:为的重心，，即，， 故选D. 8.解:由三视图知，该几何体为半圆锥，正面三角形面积为； 背面展开为扇形，其弧长为，半径为，则其 面积为；底面为半圆，其面积为，该几何体的 表面积为，故选C. 9.解:由①得，当时，②，①-②得：，故数列是以为 首项，为公比的等比数列，，，，则 ，故选A. ( O P Q F 2 F 1 x y )10.解:设里面两个半圆的半径分别为，，则最大的半圆的半径为，最大半圆的面积，阴影部分的图形面积，依题意得，即，化简得，解得或,又，或，则阴影部分的周长，则，故选A. 11.解：由双曲线的定义知，， ，又成等差数列， ，，， 由知，，解得， ，，由，得， ，即，故选D. 12.解:，令，则，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，的最大值为，则.故选B. 二．填空题： 13.解:如图，作出可行域，当直线平移至经过点时， 取得最大值. 14.解: ,, ,,. 15.解:展开式的通项为，的系数为. 16. ( D B C A A 1 B 1 D 1 C 1 M Q P )解:如图,光线从点射出通过两次镜面反射到达点，其路径应该在平面 内，设光线在平面和平面内的反射点分别，由图可知， ，，， ，， 该光线所经过的路径长为. 三．解答题： 17.解:(Ⅰ)令，则， 由余弦定理得………2分 ………4分 ………6分 (Ⅱ)，由正弦定理知，又，………8分 故，………10分 ，当且仅当时取等号，， 即的最小值为………12分 18.解: (Ⅰ)，，，， ，，在中，由余弦定理得 ，………2分 ，，………3分 又，，即，………4分 又平面，，平面………5分 又平面，平面平面………6分 (Ⅱ)如图所示，建立空间直角坐标系，则,,, ( x y z B P D E C )………7分 设为平面的法向量，则………9分 又，………11分 设直线与平面所成的角为，则………12分 19.解:(Ⅰ)设椭圆的左焦点为，关于原点对称，四边形为平行四边形，，………2分 又椭圆的离心率，，则………4分 椭圆的标准方程为………5分 (Ⅱ)设，则，且，………6分 ………10分 ，………12分 20.解:(Ⅰ)由，知，又， ………2分 两边取对数得，令，则，即………4分 当时，，此时， 当气温为时，预计该月的平均降水量为………6分 (Ⅱ)分析两地的降水量柱状图，可知地区的月降水量的波动（方差）较大，地区的月降水量的 波动（方差）较小，对应地，对应地………9分 由知，，由， 知， 即地区月降水量超过的概率为………12分 21.证明：(Ⅰ)点与的中点为，在图像上，满足条件①………1分 又点与的连线斜率为………2分 曲线在点处的切线斜率为，即连线垂直于切线，故满足条件②， 点与关于曲线对称………4分 (Ⅱ)设，，则的中点为，根据条件①，得，，即③………5分 根据条件②，，，即， 化简得④………7分 将④式代入③式得，令，则方程等价于， 即在上有解………8分 ，令，则………9分 当时，，当时，………10分 在单调递增，在单调递减，，， 当时，，直线与曲线()无交点. ………12分 补充如下:又的中点，，则 联立，消去并整理得，此方程有两不等正根，，即， 又，，， 令，则在上单调递增，且，， 存在，使得， 在单调递减，， ，其中满足. 22．解: (Ⅰ)将的极坐标方程化为直角坐标系中 的普通方程：，即………2分 又，则………4分 曲线的直角坐标方程为………5分 (Ⅱ)依题意得曲线是过点，倾斜角为的直线………6分 设，若与相切，则满足到的距离为， 即，解得，(舍去)………8分 当曲线经过点时，其斜率………9分 根据图形可知，当时,与有两个公共点，即的取值范 ... ...
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