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课件网) 2.5等比数列前n项和 回顾旧知 注意：当q=1时，等比数列{an}为常数列. 2.求等比数列通项公式的方法：观察归纳法、迭加和迭乘法、构造法、公式法 . 3.回想一下解等比数列题的一些技巧与方法. 国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？ 新课导入 1+2+4+8+…+263= 18446744073709551615（粒） 已知麦子每千粒约为40克，则折合约为737869762948382064克≈7378.7亿吨. 经过计算，我们得到麦粒总数是 那么这是怎么计算的呢？其实是一个比较大小的问题，则实质上是求等比数列前n项和的问题. 发明者要求的麦粒总数是： S64=1+2+22+23+…+263 ① 上式有何特点？ 如果①式两端同时乘以2得: 2S64=2+22+23+…+263+264 ② 比较①、②两式，有什么关系呢？ S64=1+2+22+23+…+263 ① 2S64= 2+22+23+…+263+264 ② 两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，则②－①得： S64=264-1= 18446744073709551615 设问： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2呢？ 等比数列前n项和公式及推导 在等比数列{an}中首先要考虑两种情况： 当q≠1时，Sn=a1+a2+a3+……+an-1+an =？ S1=a1 S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3) 分析： Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ② ① -②得： Sn (1—q)=a1—a1qn 则等比数列{an}前n项和公式为 1.注意q=1与q≠1两种情况. 通过上面的讲解，对于等差数列的相关量a1、d、n、an、sn，一般确定几个量就可以确定其他量？ 例1 解法2：把原数列的第8项当作第一项，第1项当作第8项， 即顺序颠倒，也得到一个等比数列{bn}， 其中b1=a8=1，q=2，所以前8项和 分析：数列9，99，999，……，不是等比数列，不能直接用公式求和， 但将它转化为 10－1，100－1，1000－1，……， 就可以解决了。 例2 原式=(10－1)+(100－1)+(1000－1)+…+(10n－1) =(10+100+1000+……+10n)－n 解： 例3 某工厂去年1月份的产值为a元，月平均增长率为p(p>0)，求这个工厂去年全年产值的总和。 解：该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元， 3月，4月，……，的产值分别为a(1+p)2元，a(1+p)3元，……， 所以12个月的产值组成一个等比数列，首项为a，公比为1+p， 例4 例5 注意：当等比数列的通项公式中有参数，求前n项和时要注意公比是否为1． 例6 例7 例8 如图，为了估计函数y=9-x2 在第一象限的图象与x轴、y轴围城的区域的面积X，把x轴上的区间[0，3]分成n等份，从各分点作y轴的平行线与函数图像相交，再从各点向左作x轴的平行线，构成（n-1）个矩形的面积的和S. 阅读程序，回答下列问题： （1）程序中的AN、SUM分别表示什么，为什么？ （2）请根据程序分别计算当n=6，11，16时，各个矩形的面积的和（不必在计算机上运行程序）。 SUM=0 K=1 INPUT“请输入将[0,3]分成的份数n:”；N WHILE K<=N-1 AN=(9-(k*3／N)^2)*3 ／N SUM=SUM+AN PRINT k,AN,SUM K=k+1 WEND END （2）根据程序，当n=6时，5个矩形的面积的和就是输入N=6时，SUM的最后一个输出值，即SUM=15.736（这里精确到小数点后3位）. 当n=11时，10个矩形的面积的和就是输入N=11时，SUM的最后一个输出值，即SUM=16.736. 当n=16时，我们得到15个矩形的面积的和SUM=17.139. “一尺之棰，日取其半，万 ... ...
