第五章 二元一次方程组 *8 三元一次方程组 / 学点1 三元一次方程（组）及其解法 三元一次方程 含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程． 三元一次方程组 含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫三元一次方程组． 三元一次方程组的解法 使三元一次方程左右两边相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程的解． 解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程． 步骤：①观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；②利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；③解二元一次方程组，求出两个未知数的值；④将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求出第三个未知数的值；⑤写出三元一次方程组的解． 例1 解方程组 【解析】观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解． 解：①×2+②，得5x+8y=7，④ 解③，④组成的方程组 解这个方程组，得 把x=3，y=-1代入①，得z=1， 所以原方程组的解为 【素养点评】三元一次方程组的解法多种多样，只要逐步消元，解出每一个未知数即可；解三元一次方程组时，每一个方程都至少要用到一次，否则解出的结果也不正确． / 题型1 运用三元一次方程组解实际问题 例1 某个三位数是它各位数字和的27倍，已知百位数字与个位数字之和比十位数字大1，再把这个三位数的百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的三位数，新三位数比原三位数大99，求原来的三位数． 【解析】分别设三个数字为a、b、c，根据题意得，a+c=b+1,27（a+b+c）=100a+10b+c，100a+10b+c+99=100c+10b+a.再用代入消元法或加减消元法解答即可. 解：设百位数字为a、十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为100a+10b+c，由题意，得 化简，得 解这个方程组，得 答：原来的三位数是243． 【素养点评】同二元一次方程组的实际应用相类似，运用三元一次方程组解决实际问题要设三个未知数，寻找三个等量关系，列出三个一次方程，组成三元一次方程组.
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