平面性质运用问题的解答方法

平面基本性质运用问题的解答方法 平面基本性质具体涉及到三个公理和三个推论，它是学习立体几何问题的基础。平面基本性质运用问题归结起来主要包括：①证明空间三条直线共点问题；②证明空间三点共线问题；③证明空间四点（或三条直线）共面问题等几种类型，各种类型问题结构上具有各自的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答平面基本性质运用问题时，如何根据问题的结构特征，选用恰当的方法快捷，准确地予以解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、判断下列命题的真假： （1）平行四边形和梯形一定是平面图形； （2）已知直线L和L外一点A，那么连接A和L上任意一点的直线都在点A和直线L确定的平面内。 【解析】 【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 【解题思路】（1）运用平面基本性质的公理3的推论，就可直接判断命题的真假；（2）运用平面基本性质公理3的推论可知，直线l和直线l外一点A确定一个平面，根据平面 基本性质公理2就可判断命题的真假。 【详细解答】（1）梯形的两底平行，平行四边形的对边分别平行，梯形和平行四边形都在同一平面内，平行四边形和梯形是平面图形，命题“平行四边形和梯形一定是平面图形”是真命题；（2）点A是直线l外一点，点A与直线l确定一个平面，过点A和直线l上任意一点的直线，有点A和所取l上的点都在点A和直线l所确定的平面内，这条直线都在该平面内，命题“已知直线L和L外一点A，那么连接A和L上任意一点的直线都在点A和直线L确定的平面内”是真命题。 A 2、如图在四面体ABCD中，E，G分别是BC，AB的 中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3， G H DH：HA=2：3。 B D 求证：EF，GH，BD交予一点。 【解析】 E F 【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 C 【解题思路】设直线EF，GH相交于一点O，运用平面基本性质证明点O在直线BD上，从而结论得到证明。 【详细解答】设直线EF，GH相交于一点O， O直线EF，直线EF平面ABD， O平面ABD， O直线GH，直线GH平面CBD，O平面CBD，平面ABD 平面CBD=BD， O直线BD，直线EF，GH，BD相交于点O。 3、如图已知E、F、G、H分别是正方体ABCD D H C —的棱AB、BC、C、的中点。 A B 证明：EF、HG、三线共点。 G 【解析】 F 【知识点】①平面基本性质；②平面基本性质运用。 E 【解题思路】设直线EF，GH相交于一点O，运用平面基本性质证明点O在直线上，从而结论得到证明。 【详细解答】设直线EF，GH相交于一点O， O直线EF，直线EF平面，O平面 ， O直线GH，直线GH平面CD，O平面CD ，平面平面CD=， O直线，直线EF，GH，相交于点O。 『思考问题1』 （1）【典例1】是运用平面基本性质证明三条直线共点的问题，解答这类问题应该分辨清楚问题与平面基本性质中的哪一个或哪几个公理（或推论）相关，运用相关公理（或推论）时需要注意问题条件给出了公理（或推论）中的哪些条件，还需要证明哪些条件才能得到结论； （2）证明三线共点的问题的基本方法是：①设其中两条直线相交于一点，②证明第三条直线也经过这一点，将问题转化为证明点在直线上的问题（一般是证明点在两个平面的交线上）。 〔练习1〕解答下列问题： 1、两个不全等的三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行。 D 求证：三对对应顶点的连线相交于一点； 2、已知空间四边形ABCD，如图所示，E，F分别 H 是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点， F C 且CG=CB，CH=CD。 G 求证：三直线FH，EG，AC共点。 A E B 3、如图正方体ABCD--中，E，F 分别是 AB和A的中点。 求证：CE，F，DA三线共点。 F 【典例5】解答下列问题： D C 1、如图正方体ABCD--中，对角线C A E B ∩平面BD=O，AC∩BD=M。 求证：，O，M三点共线。 O 【解析】 D M C 【知 ... ...