苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：02任意角、弧度制(提高)

任意角和弧度制 【学习目标】 1.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法。 2.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 3.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算。 【典型例题】 类型一：终边相同的角的集合 例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 【思路点拨】根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，我们可以表示出与10030°的角终边相同的角的集合，找出满足条件的k值，即可得到答案． 【答案】（1）―50°（2）670° 【解析】 （1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。 （2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。 【总结升华】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。 举一反三： 【变式】已知=－1910°。 （1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。 （2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。 【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470° 【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°， ∴－1910°=－6×360°+250°， 相应的=250°，从而=－6×360°+250°是第三象限的角。 （2）令=250°+k·360°（k∈Z）， 取k=―1，―2就得到满足―720°≤≤0°的角； 250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。 例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。 （1）、的终边关于原点对称； （2）、的终边关于x轴对称； （3）、的终边关于y轴对称。 【答案】（1）（2）+=k·360°（3）+=(2k+1)·180° 【解析】 （1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），于是（k∈Z）。 （2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）。 （3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z） 【总结升华】 首先在0°～360°范围内找出两个角的关系，然后再根据终边相同的角的概念写出完整答案。 举一反三： 【变式1】已知是任意角，则与的终边（ ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】 B 类型二：角所在象限的研究 例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。 【思路点拨】因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°，把上式两边都乘以2、、，然后对进行讨论，就可得 ，，的终边所在的位置。 【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第二象限或第四象限的角 【解析】 解法一：因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。 （1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。 （2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。 （3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是 ... ...