苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：10正弦函数的图象与性质及三角函数的周期性(提高)

弦函数的图象和性质以及三角函数的周期性 【学习目标】 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.借助图象理解正弦函数的性质. 【典型例题】 类型一：“五点法”作正弦函数的图象 例1．作出函数在[－2π，2π]上的图象． 【思路点拨】由于，因此只需作出函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象即可． 【解析】函数y=|cos x|，x∈[－2π，2π]的图象可采用将函数y=cos x，x∈[－2π，2π]的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方的方法得到，所得图象如下图所示． 【总结升华】 作图是一项很重要的能力，而“五点法”是作三角函数图象的一种非常简便的方法．在利用“五点法”作图时，一定要弄清楚是哪五点，为什么要取这五点等．此外第（2）小题中我们使用了对称变换，并且我们还可以发现，加了绝对值后，其周期变为原来的一半了． 举一反三： 【变式】用五点法作出，函数的图象． 【思路点拨】取上五个关键的点（0，2）、（，1）、、、（2，2）．（2）取上五个关键的点． 【解析】 （1）找出五点，列表如下： x 0 0 1 0 －1 0 y=2－u 2 1 2 3 2 描点作图（如下图）． 【总结升华】在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的． 类型二：利用图象的变换作正弦函数图象 例2．作函数的图象； 【思路点拨】要善于利用函数的图象来作及的图象。 【解析】将化为，其图象如下图。 【总结升华】 函数的图象变换除了平移变换外，还有对称变换，一般地，函数的图象与的图象关于y轴对称，与的图象关于x轴对称，和图象与的图象关于原点对称，的图象关于y轴对称。 类型三：正弦函数定义域与值域 例3．求函数的定义域 【答案】 【解析】依题意得2sin x－1＞0，即，∴（k∈Z）， ∴函数的定义域为． 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围． 例4．求下列函数的值域： （1）y=|sin x|+sin x； （2），； 【解析】 （1）∵， 又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]。 （2）∵，∴。 ∴。∴， ∴0≤y≤2。∴函数的值域为[0，2]。 【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质． 举一反三： 【变式】求函数y=3sin2x－4sin x+1，的值域。 【答案】 【解析】， 令t=sin x，因为，所以t∈[0，1]， ，t∈[0，1]，所以。 类型四：正弦函数单调性 例5．求下列函数的单调递增区间： （1）；（2）。 【思路点拨】（1）要将原函数化为再求之（2）这个函数是复合函数，复合函数的单调性要由“内函数”和“外函数”的单调性共同决定，即“同增异减”。 【解析】（1）. 故由2kπ-≤-≤2kπ+. 3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调减区间； 由2kπ+≤-≤2kπ+. 3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，为单调增区间. ∴递减区间为［3kπ-，3kπ+］， 递增区间为［3kπ+，3kπ+］(k∈Z). （2）由sin x＞0，得2k＜x＜2k+（k∈Z）。 ∵，∴函数的递增区间即为u=sin x的递减区间， ∴（k∈Z）。 故函数的递增区间为（k∈Z）。 【总结升华】（1）求函数的单调区间时，应由（k∈Z）或（k∈Z），求得x的范围，即为函数的单调区间，这实际上是换元法的应用。 （2）求单调区间应在定义域内求解。 举一反三： 【变式1】求函数y=-｜sin(x+)｜的单调区间： 【答案】y=-|sin(x+)|的图象的增区间为［kπ+，kπ+］， 减区间为［kπ-，kπ+］. 【变式2】三个数，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． ... ...