苏教版高中数学必修四教学讲义，复习补习资料（含典例分析，巩固练习）：32两角和与差的余弦(提高)

两角和与差的余弦 【学习目标】 1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的关系. 2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用. 3.能用余弦的和角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 【典型例题】 类型一：利用两角和与差的余弦进行证明 例1．求证： （1） （2） 【思路点拨】（1）用代，利用两角差的余弦公式展开．（2）利用及两角和的余弦公式可证得． 【证明】（1）= = （2） = = = = 举一反三： 【变式】 【证明】 = = = = = 类型二：利用两角和与差的余弦公式化简三角函数式 例2．（1）； （2）． 【解析】 （1）原式 ． （2）原式= = = = = 【总结升华】 两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体．分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型． 举一反三： 【变式】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°； （2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)； （3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°； （4）； 【解析】（1）原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0． （2）原式． （3）原式． （4）原式 类型三：利用两角和与差的余弦公式求值（或角） 例3．已知，，，均为锐角，求． 【思路点拨】 【解析】∵，均为锐角，∴，， 由，， 易知，． ∴ ． 【总结升华】 举一反三： 【变式】已知，，且、、均为锐角，求的值 【解析】因为、均为锐角，故，，均在（0，π）内，所以，． 而， 所以 ． 例4．已知、均为锐角，且，，求的值． 【思路点拨】先求，然后根据确定的范围． 【答案】 【解析】 ∵、均为锐角，且，， ∴，， ∴ ． 又∵，，， 而，∴，即， ∴，∴． 【总结升华】 此类题目是给值求角问题，一般步骤如下：①求所求角的某一个三角函数值；②确定所求角的范围．此类题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值． 举一反三： 【变式1】 已知、为锐角，，，求角的值． 【解析】 ∵为锐角且， ∴． 又为锐角，∴， 又，∴． ∴． ∴ ． 又为锐角，． 【总结升华】（1）本题运用了角的变换技巧，抓住条件角与结论角的关系解题．（2）应注意运用三角函数值的大小关系这一隐含条件来研究角的范围． 【变式2】若，，求的值． 【解析】 （1） （2） （1）2+（2）2得：2+2=1 类型四：两角和与差的余弦公式的综合应用 例5．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α＝_____. 【解析】由题意知，cos β＝－，sin(α＋β)＝，又∵α，β∈(0，π)，∴sin β＝，cos(α＋β)＝－. ∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－×(－)＋× ＝＋ ＝. 例6．已知三点、、．若向量（k为常数，且0＜k＜2），求的最大、最小值及相应的k值． 【思路点拨】由题意得，因为要求的最值，所以想法消去可解得． 【答案】当k=1时，最大值；当或时，最小值－1． 【解析】 由已知得． 移项得． ①2+②2得． ∴ ∵0＜k＜2，故k=1时，有最大值， 又，∴的最小值为－1， 此时，解得或． 综上所述，当k=1时，有最大值； 当或时，有最小值－1． 【总结升华】（1）向量与三角函数有机结合，是近几年高考的一个亮点，希望引起足够的重视． （2）形如的一类问题，平方相加或相减，或者先移项再平方相加而消元，是解决此类问题的常用方法． 举一反三： ... ...