第二章 解析几何初步 §2 圆与圆的方程 2.1 圆的标准方程 课时跟踪检测 一、选择题 1．若圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，则此圆的圆心和半径分别是( ) A．(1，－1)，4 B．(1，－1)，2 C．(－1,1)，4 D．(－1,1)，2 解析：∵圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心(a，b)，半径为r，∴(x－1)2＋(y＋1)2＝4的圆心(1，－1)，半径r＝2. 答案：B 2．点A(m,6)与圆x2＋y2＝25的位置关系是( ) A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 解析：把点A的坐标(m,6)代入x2＋y2＝25，得m2＋36>25，∴点A在圆外． 答案：C 3．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3平分，则a等于( ) A．13 B．7 C．－13 D．以上答案都不对 解析：由题意知，(a，－5)在直线上， ∴a＋2×(－5)＋3＝0，a＝7. 答案：B 4．方程y＝ 表示的图形是( ) 解析：原式可转化为：x2＋y2＝1(y≥0)，它表示原点为圆心，半径为1的圆位于x轴及上面部分． 答案：C 5．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵直线通过第一、二、四象限， ∴a<0，b>0，∴－a>0，－b<0， ∴圆心(－a，－b)位于第四象限． 答案：D 6．已知直线l的方程为3x＋4y－25＝0，则圆x2＋y2＝1上的点到直线l的距离的最小值是( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：圆心到直线的距离d＝＝5，圆半径r为1，d－r＝4就是圆上的点到直线l距离的最小值． 答案：B 二、填空题 7．以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程为_____． 解析：直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A(0,4)，B(2,0)． ∴r2＝|AB|2＝(2－0)2＋(0－4)2＝20. ∴圆的方程为x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20. 答案：x2＋(y－4)2＝20或(x－2)2＋y2＝20 8．若圆C和圆(x－2)2＋(y＋2)2＝1关于直线x－y＋1＝0对称，则圆C的方程_____． 解析：设C(a，b)．已知圆心坐标为(2，－2)． 由题意知，解得 ∴所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－3)2＝1. 答案：(x＋3)2＋(y－3)2＝1 9．已知点P(x，y)在圆x2＋y2＝1上，则的最大值为_____． 解析： 表示点A(1,1)到点P(x，y)的距离，它的最大值为A到圆心(0,0)的距离加上半径，即＋1. 答案：＋1 三、解答题 10．一圆经过点P(－4,3)，圆心在直线2x－y＋1＝0上，且半径为5，求该圆的方程． 解：设圆心坐标为(a，b)． 则 解得或 ∴圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25或(x＋1)2＋(y＋1)2＝25. 11．已知圆C经过点A(1,3)，B(2,2)，并且直线l：3x－2y＝0平分圆C，求圆C的方程． 解：由于直线l：3x－2y＝0平分圆C，故圆C的圆心C(a，b)在直线l上，即3a－2b＝0.① 又|CA|＝|CB| ∴＝.② 把①代入②得a＝2，b＝3， ∴|CA|＝＝1， ∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1. 12．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上． (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的方程． 解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3. 又因为点T(－1,1)在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0. (2)由解得点A的坐标为(0，－2)．因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)， 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又|AM|＝ ＝2， 从而矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8. 13．平面上两点A(－1,0)，B(1,0)，在圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4上取一点P，求使|PA|2＋|PB|2取最小值时点P的坐标． 解：设P点的坐标为(x，y)，∵A(－1,0)，B(1,0)， ∴|AP|2＋|BP|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝ 2(x2＋y2)＋2＝2|OP|2＋2. 要使|AP|2＋|BP|2取得最小值，需使|OP ... ...
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