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课件网) 直线与平面、平面与平面复习课 苏教版必修2 数学 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 平行关系 ⑦ ⑧ ⑨ ⑤ ⑩ 垂直关系 A P O 直线与平面所成角 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是0°的角 l l ? ? A B O 平面与平面所成角 以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个面内分别作垂直于棱的射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 1．如图所示，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，侧棱长为 ，底面三角形 的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角的大小为 ． A B C A1 B1 C1 取AC的中点D，连结DB，C1D， D 则可证得∠BC1D即为BC1与侧面ACC1A1所成的角， 分析： 在△DCC1中，易得DC1＝ ， 在△ABC中，易得BD＝ ， 在Rt△BC1D中，tan∠BC1D ， 即∠BC1D＝30°. 作 证 算 过点B作平面AC1的垂线，转化为在过点B的平面AC1的垂面内作交线AC的垂线 2．如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝ ，PB＝ ， 则二面角P—?BC—?A的大小为 ． P A B C 找 证 算 解析： ∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. ∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC. 又∵BC⊥AC. ∴∠PCA为二面角P?BC?A的平面角． 在Rt△PBC中，∵PB＝ ，BC＝ ，∴PC＝2. 在Rt△ABC中， ， ∴在Rt△PAC中，cos∠PCA ， ∴∠PCA＝45°，即二面角P?—BC—?A的大小为45°. 找/作 证 算 通过分析条件，鉴别已知角是否为二面角的平面角（线面角），否则就需利用垂直关系作辅助线得到 证明某平面角是所求二面角的平面角（线面角） 把角放在三角形内求值，注意角的范围 线面角、面面角的求解步骤 例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1． (1) 求证：直线DE∥平面A1C1F； (2) 求证：平面B1DE⊥平面A1C1F ； (3) P是A1F上异于A1、F的一点，且过点P和DE的平面截平面A1C1F得到截面DEQP(点Q在棱C1F上)，求证：PQ∥DE． A B C A1 B1 C1 D E F 例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1． (1)求证：直线DE∥平面A1C1F； A B C A1 B1 C1 D E F (1) 证明： ∵ D，E分别为AB，BC的中点 ∴DE∥AC， ∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥CC1且AA1 = CC1 ∴四边形ACC1A1是平行四边形， ∴AC∥A1C1， ∴DE∥A1C1. 又DE 平面A1C1F，A1C1 平面A1C1F， ∴直线DE∥平面A1C1F. 例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1． (2) 求证：平面B1DE⊥平面A1C1F ； A B C A1 B1 C1 D E F (2) 证明：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1. 又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1， A1B1 平面A1B1C1， AA1 平面A1B1C1 ∴A1C1⊥平面ABB1A1. 又∵B1D ?平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F. 又∵B1D 平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D. ∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1， A1F 平面A1C1F， A1C1 平面A1C1F ∴B1D⊥平面A1C1F. 例1 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1． (3) P是A1F上异于A1、F的一点，且过点P和DE的平面截平面A1C1F得到截面DEQP(点Q在棱C1F上)，求证：PQ∥DE． A B C A1 B1 C1 D E F P Q (3) 证明： ∵过点P和DE的平面截平面A1C1F得到截面DEQP ∴平面DEQP ∩平面A1C1F=PQ 又由(1) 知DE∥平面A1C1F， DE 平面DEQP ∴ DE∥PQ． 解题回顾 (1) 线线平行?线面平行,实现空间问题平面化． (2) 证明线面平行时务必要说清三点： 两 ... ...
