2019-2020学年陕西师大附中高三（上）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题） 1.若，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 2.已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 3.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 108石 B. 169石 C. 237石 D. 338石 4.在区间上随机地选择一个数，则方程有两个正根的概率为（ ） A. B. C. D. 5.已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 3 B. 9 C. 18 D. 27 6.在的展开式中，的系数是 （ ） A. 45 B. C. 90 D. 7.若，且，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为 （ ） A. B. C. D. 9.已知抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线的方程是（ ） A. B. C. D. 10.已知为双曲线的左、右焦点，为其渐近线上一点， 轴，且则该双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 11.已知函数,若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12.在△ABC中，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题） 13.某正方体外接球的体积为，则此正方体的表面积为_____． 14.在各项都为正数的等比数列中，，，则数列的前n项和为_____． 15.钝角中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，则a的取值范围是_____． 16.已知，，，则的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共7小题） 17.已知函数的图象的一条对称轴为． （1）求的最小值； （2）当取最小值时，若，，求． 18.共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”. （1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率； （2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望. 19.如图，在四面体中，，． （1）证明：； （2）若，，四面体的体积为2，求二面角的正弦值． 20.已知离心率的椭圆的一个焦点为，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过原点且与坐标轴不垂直的直线与曲线交于两点，且点，求面积的最大值． 21.函数. （1）求在处的切线方程（为自然对数的底数）； （2）设，若，满足，求证：. 22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）写出直线的直角坐标方程； （2）设点的坐标为，若点是曲线截直线所得线段的中点，求的斜率. 23.已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若对，成立，求的取值范围. 答案与解析 一、选择题（本大题共12小题） 1.若，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由1+ai＝0，得ai＝﹣1，即a． 故选：C． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 2.已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出集合A，B，由此能求出． 【详解】解：集合， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.我国古代数学名著《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1536石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得256粒内夹谷18粒，则这批米内夹谷约为（ ） A. 108石 B. 169石 C. 237石 D. 338石 【答案】A 【解析】 【分析】 根据抽取样本中米夹谷的比例，得到整体米夹谷的频率，从而可得结果. 【详 ... ...
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