沪教版数学高一下春季班第七讲 课题 正切函数图像及其性质 单元 第六章 学科 数学 年级 十 学习 目标 1．理解正切函数的概念及图像； 2．掌握其奇偶性、单调性、值域及最值； 3．学会从研究函数的角度解决实际问题． 重点 掌握并应用正切函数的图像； 难点 学会从多个角度分析函数． 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1、角的正切线： 2、正切函数的图像： 可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像 根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数， 且的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知： （1）定义域：， （2）值域： 观察：当从小于，时， 当从大于，时，. 周期性： （4）奇偶性：，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增. （6）中心对称点： 3、 余切函数的图象： 即将的图象，向左平移个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得的图象 由余弦函数图像可知： （1）定义域：， （2）值域： （3）周期性： （4）奇偶性：，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间内，函数单调递增. （6）中心对称点： 一、正切函数的图像 【例1】作函数的图像. 【难度】★★ 【答案】如图 【解析】 等价于 ，图像如图所示． 【例2】求函数的定义域、周期、单调增区间，并画草图． 【难度】★★★ 【答案】定义域： ，周期：，单调增区间： 【例3】根据正切函数图象，写出满足下列条件的的范围. （1） （2） （3） （4） 【难度】★ 【答案】 （1）, （2） （3）, （4） 【例4】根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的值的集合： （1） （2） 【难度】★★ 【答案】（1） （2） 【例5】比较下列两数的大小 （1）与 （2）与 （3）与 【难度】★ 【答案】（1） （2） （3） 【例6】函数与的图像在上的交点有 （ ） 个 个 个 个 【难度】★★ 【答案】 【巩固训练】 1．作出函数的图象. 【难度】★★ 【答案】如图 2．利用图像，不等式的解集为_____. 【难度】★★ 【答案】 3．比较与的大小 【难度】★ 【答案】，， 内单调递增. 4．若，试比较，并按从小到大的顺序排列：_____. 【难度】★★ 【答案】 二、正切函数的定义域及值域 1、正切函数的定义域 【例7】求下列函数的定义域 （1） （2） （3） （4） 【难度】★ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【例8】求函数的定义域． 【难度】★★ 【答案】 【解析】 由此不等式组作图： ∴ 【巩固训练】 1．函数的定义域为_____ 【难度】★ 【答案】 2．与函数的图象不相交的一条直线是 （ ） 【难度】★ 【答案】 3．求下列函数的定义域 (1) ；(2) ． 【难度】★★★ 【答案】见解析 解：等价转化为求一个不等式组的解 (1) (2) ． 注：转化过程中要注意必须是等价转换，才能保证结果既不扩大也不缩小．在求条件组的解时，常会求角集得交集，可以画数轴，用单位圆或函数的图像，应熟练掌握这种技能． 2、正切函数的值域与最值 【例9】函数的值域为 【难度】★ 【答案】 【例10】若，求函数的最值及相应的值；. 【难度】★★ 【答案】时，； 时， 【例11】已知，当时，函数，求实数的值. 【难度】★ 【答案】 【例12】求函数的值域. 【难度】★★ 【答案】 【巩固训练】 1．求函数的值域 【难度】★★ 【答案】 2．求函数的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量的集合. 【难度】★★ 【答案】，此时 3．已知，求它的最小值 【难度】★★ 【答案】当时， 4．函数的值域为_____ 【难度】★ 【答案】 【解析】令则转化为的二次函数求最值。 三、正切函数的性质 1、正余弦函数的周期性 【例13】求下列函数的周期: （1） （2） （3） （4 ... ...
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