2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第3章3.13.1.3　两角和与差的正切Word版含解析

3.1.3　两角和与差的正切 学 习 目 标 核 心 素 养(教师独具) 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点) 通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养. 两角和与差的正切公式 T(α－β)：tan(α－β)＝. T(α＋β)：tan(α＋β)＝. 思考：公式Tα±β有何结构特征和符号规律？ [提示]　(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (2)符号规律：分子同，分母反． 1．tan 15°＝_____；tan 75°＝_____. 2－　2＋　[tan 15°＝tan(45°－30°)＝ ＝＝＝2－. tan 75°＝ ＝＝2＋.] 2．设α，β为锐角，且tan α，tan β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝_____. 1　[tan α＋tan β＝，tan α·tan β＝. tan(α＋β)＝＝1.] 3.＝_____. 　[原式＝＝tan(45°－15°) ＝tan 30°＝.] 条件求值问题 【例1】　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan 2α，tan 2β，tan. 思路点拨：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan可以用tan 2α表示出来． [解]　tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝＝ ＝－， tan 2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝＝＝， tan＝＝ ＝. 求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂. 1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan. [解]　tan＝tan ＝＝＝. 给值求角 【例2】　已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β. 思路点拨：利用根与系数的关系求tan α＋tan β及tan αtan β的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值． [解]　因为tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0， 所以tan α＜0，tan β＜0.又因为α，β∈， 所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0. 又因为tan(α＋β)＝＝＝， 所以α＋β＝－. 1．给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围写出所求的角． 2．选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好． 2．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝_____. －　[由于tan α＝tan[(α－β)＋β] ＝ ＝＝，所以α∈， 又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1， 而β∈，所以2α－β∈(－π，0)， 故2α－β＝－.] T(α±β)公式的变形及应用 [探究问题] 1．你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？ (1)T(α＋β)的变形： tan α＋tan β＝_____. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝_____. tan αtan β＝_____. (2)T(α－β)的变形： tan α－tan β＝_____. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝_____. tan αtan β＝_____. 提示：(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β) tan αtan β＝1－ (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β) tan αtan β＝－1 2．结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？ (1)＝_____；(2)＝_____. 提示：(1)＝＝tan (2)＝＝tan 【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＝tan Atan B－1，试 ... ...