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课件网) 导入新课 除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么? 知识回顾 矩阵乘法的运算性质 结合律 (ab)c=a(bc) 交换律 ab=ba 消去律 设a≠0,若ab=a,则b=c;若 ba=ca,则b=c. 类比 实数的乘法运算中有一条重要的运 算性质： 矩阵是否有相似的性质呢？ 把恒等变换I 和单位矩阵E作为数1的类比对象 3.1 逆变换与逆矩阵 知识与能力 掌握逆矩阵的概念和简单性质 教学目标 过程与方法 情感态度与价值观 通过线性变换理解逆矩阵的性质 培养学生提出问题,解决问题的能力 重点： 逆矩阵的概念与简单性质. 逆矩阵的概念; 用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质. 教学重难点 难点： 探究1 对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ? 对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E? O y x 30° R－30° R30° 例1 旋转变换 R30°： R－30°： 对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量 由图可得： 有： （R 30 °· R －30 ° ） = R30°（R－30° ）= 同理可得：R－30°· R30°= I ∴ R30°· R－30°= I 矩阵的语言表述 对于二阶矩阵 ,存在二阶矩阵 ,使得 思考 一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么? 探究2 对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换 I ? 答案：能！ 同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么? 定义 设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I ,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵. 用矩阵的语言表述: 设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵. 设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵. 思考 是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明. 答案:不是. 如A= 探究3 1.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么? 2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么? 以例1中的两个旋转变换为例 反证法 证明: 假设不唯一,则存在变换R30°的任意一个逆变换σ,使得σ R30° = R30° σ= I. ∴对平面上任意一个向量 有, ∴逆变换是唯一的. 性质1 设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的. 证明：设B1,B2都是A的逆矩阵,则 B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2. ∴B1=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1） =B2E2=B2. 即：B1=B2. 探究4 两个可逆变换的复合变换仍可逆么? 伸缩变换ρ: 旋转变换R30°: 它们的逆矩阵分别为: R－30°: 举例说明： 任意一个平面向量: = . 先经ρ·R30°的复合变换,再经R－30°·ρ－1, 最终仍得到 如图: O y x 性质2 设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1. 证明：∵(AB)(B－1A－1) =A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2, (B－1A－1) (AB) = B－1( AA－1 )B= B－1E2B= B－1B=E2, 即:(AB)(B－1A－1) =(B－1A－1)(AB)=E2 ∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1. 课堂小结 1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆. 2.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的. 3.A , B是二阶矩阵,若A ,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1. 再见 ... ...
