二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM及创新思维] （1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？ 分析 若函数是二次函数，须满足的条件是：． 解 若函数是二次函数，则 ． 解得 ，且． 因此，当，且时，函数是二次函数． 回顾与反思 形如的函数只有在的条件下才是二次函数． 探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 ，其中S是a的二次函数； （2）由题意，得 ，其中y是x的二次函数； （3）由题意，得 （x≥0且是正整数）， 其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 ，其中S是x的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 解 （1）； （2）当x=3cm时，（cm2）． [当堂课内练习] 1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1） （2） （3） （4） 2．当k为何值时，函数为二次函数？ 3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． [本课课外作业] A组 1． 已知函数是二次函数，求m的值． 2． 已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值． 3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y． 4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围． B组 5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A． B． C． D． 6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是 （ ） A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会] 二次函数的图象与性质（1） [本课知识要点] 会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM及创新思维] 我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？ （1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？ （2）观察函数的图象，你能得出什么结论？ [实践与探索] 例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？ （1） （2） 解 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 18 8 2 0 2 8 18 … … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 … 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1． 共同点：都以y轴为对称轴 ... ...
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