第06讲-函数的奇偶性与周期性-2021年新高考数学一轮专题复习 教案（新高考专版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第06讲-函数的奇偶性与周期性 考情分析 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义； 2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义. 知识梳理 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [微点提醒] 1.(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). 2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 4.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 经典例题 考点一　判断函数的奇偶性 【例1-1】(1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ 【解析】　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)由得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x－2<0，∴|x－2|－2＝－x，∴f(x)＝. 又∵f(－x)＝＝－＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0， 则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)； 综上可知：对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数. 【例1-2】（2020·枣庄市第三中学高二月考）设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是奇函数 【答案】C 【分析】 根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【详解】 解：是奇函数，是偶函数， ，， ，故函数是奇函数，故错误， 为偶函数，故错误， 是奇函数，故正确． 为偶函数，故错误， 故选：． 规律方法　判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立. 考点二　函数的周期性及其应用 【例2-1】 (1)(2020·南充一模)设f(x)是周期为4的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x)，则f＝(　　) A.－ B.－ C. D. (2)(2019·山东期末)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x [－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝_____. 【解析】(1)∵f(x)是周期为4的奇函数， ∴f＝－f＝－f 又0≤x≤1时，f(x)＝x(1＋x) 故f＝－f＝－＝－. (2)∵f(x＋4)＝f(x－2)， ∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)， ∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f( ... ...