沪教版数学高一下春季班：第十七讲 数学归纳法 同步学案 （教师版）

中小学教育资源及组卷应用平台 沪教版数学高一下春季班第十七讲 课题 数学归纳法 单元 第章 学科 数学 年级 十 学习目标 1．掌握数学归纳法证明的一般步骤；2．能应用归纳———猜想———论证的解题思路，解决相应的数学问题 重点 1．数学归纳法证明的一般步骤；2．数学归纳法证明的应用． 难点 数学归纳法证明的应用． 教学安排 版块 时长 1 知识梳理 30 2 例题解析 60 3 巩固训练 20 4 师生总结 10 5 课后练习 30 1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)特点：特殊→一般 2．不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 3．完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法, 与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 4．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN ，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法 5．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值n0结论正确； (2)假设当n=k(k∈N ，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确 (?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??) 由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　 数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题: 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。 证明的要点是“二凑”：一凑假设，当n=k+1时，把所证命题凑成可以应用归纳假设的形式；二凑结论，由于所证结论是已知的，在证明过程中一步步向结论靠近。 6．数学归纳法的应用： ①证恒等式； ②不等式的证明； ③整除性的证明； ④探求平面几何中的问题； ⑤探求数列的通项 7. 运用数学归纳法时易犯的错误： ①对项数错误的估算；②没有利用归纳假设（即使是用正确的方法证明，但是只要没有应用到假设，这种证法不是数学归纳法）；③关键步骤含糊不清④起始项。 1、数学归纳法 【例1】用数学归纳法证明“对于足够大的正整数，总有，则所取的第一个值最小应是____． 【难度】★ 【答案】10 【例2】用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N ），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（ ） A）1 B）1+a C）1+a+a2 D）1+a+a2+a3 【难度】★ 【答案】C 【例3】用数学归纳法证明，在第二步从到时，左边应添加的项为（ ）． A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 【例4】用数学归纳法证明时，由“到”不等式左端的变化是（ ）． 、增加项 、增加、两项 、增加、两项，且减少一项 、以上结论均错 【难度】★ 【答案】时，左边=， 时，左边= 【例5】用数学归纳法证明能被13整除时，由假设时成立推成立时，应增加的式子为 ． 【难度】★★ 【答案】 【例6】已知为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）． 、时等式成立 、时等式成立 、时等式成立 、时等式成立 【难度】★ 【答案】 【例7】已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是（　　）． 、若成立，则对于任意，均有成立； 、若成立，则对于任意的，均有成立； 、若成立，则对于任意的，均有成立； 、若成立，则对于任意的，均有成立． 【难度】★ 【答案】 因为若成立，则当 ... ...