直线和圆，圆和圆位置关系问题的类型与解法

直线和圆，圆和圆位置关系问题的类型与解法 直线和圆，圆和圆位置关系问题是近几年高考的热点内容之一。纵观近几年的高考数学试卷，归结起来直线和圆，圆和圆的位置关系问题主要包括：①判定直线与圆的位置关系；②已知直线与圆的位置关系，求直线方程或圆方程中参数的值或取值范围；③判定圆与圆的位置关系；④已知圆与圆的位置关系，求圆方程中参数的值或取值范围等几种类型。各种类型问题结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同，那么在实际解答直线和圆，圆和圆位置关系问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。 【典例1】解答下列问题： 1、设直线kx-y+1=0被圆O：=4所截弦的中点的轨迹为C，则曲线C与直线x+y-1=0的位置关系为（ ） A 相交 B 相切 C 相离 D 不确定 【解析】 【知识点】①求点轨迹方程的基本方法；②判定直线与圆位置关系的基本方法。 【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法求出曲线C的方程，利用判定直线与圆位置关系的基本方法就可得出选项。 【详细解答】直线kx-y+1=0过定点（0，1），把点（0，1）代入圆O：=4可知点（0，1）在圆O内，所截弦中点与点（0，1）的连线垂直过弦中点的直径，所截弦的中点的轨迹C是以点（0，0）和点（0，1）为直径的圆，曲线C的方程为：+=， 点（0，）到直线x+y-1=0的距离d= = < ，曲线C与直线x+y-1=0相交，A正确，选A。 2、与曲线=（y-1）(3-y)相切，且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 条； 【解析】 【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②求直线方程的基本方法。 【解题思路】设直线的方程为x+y=a，运用直线与曲线相切的性质得到关于参数a的方程，求解方程求出参数a的值，从而得到符合问题条件的直线方程就可得出结论。 【详细解答】设直线的方程为x+y=a，直线与曲线=（y-1）(3-y)相切，（0，2）到直线x+y=a的距离为：d= = =1，a=2-或a=2+，当a=0时，有两条直线与曲线=（y-1）(3-y)相切，符合问题条件的直线有4条。 3、已知直线l：2mx-y-8m-3=0和圆C：-6x+12y+20=0。 （1）mR时，证明：l与C总相交； （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此时弦长。 【解析】 【知识点】①判定直线与圆位置关系的基本方法；②点到直线的距离公式及运用；③圆的定义与性质。 【解题思路】（1）运用判定直线与圆位置关系的基本方法，结合问题条件就可证明结论；（2）运用点到直线的距离公式和圆的性质得到关于参数m的方程，求解方程求出m的值，从而求出此时的弦长。 【详细解答】（1）圆C：-6x+12y+20=0 + =25，直线l：2mx-y-8m-3=0过定点（4，-3），把点（4，-3）代入圆的方程得：1+9=10<25，点（4，-3）在圆C的内部， mR时，直线l：2mx-y-8m-3=0与 圆C总相交；（2）设直线l与圆C相较于A，B两点，当直线l：2mx-y-8m-3=0垂直于过点（4，-3）的直径时，l被C截得的弦长最短，2m. =-1，m=-，当m=-时，l被C截得的弦长最短，此时点（3，-6）到直线l的距离为：d==，+10=25，|AB|=2。 『思考问题1』 （1）【典例1】是直线与圆的位置关系判定的问题，解决这类问题需要掌握判定直线与圆位置关系的基本方法； （2）判定直线与圆的位置关系主要有两种方法：①代数方法；②几何方法； （3）代数方法的基本方法是：①由直线方程与圆方程联立消去y得到关于x的一元二次方程；②求出一元二次方程判别式的值；③根据一元二次方程判别式的值确定一元二次方程解的情况；④得出结果； （4）几何方法的基本方法是：①把圆方程化为标准方程；②确定圆心坐标和圆的半径；③运用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离；④将求出距离与圆半径比较并得出结果； （5）在实际解决问题时，到底选用哪种方法，应该根据题给条件来确 ... ...