中小学教育资源及组卷应用平台 突破1.3 函数的基本性质（单调性与奇偶性） 一、考情分析 重难点突破： 函数的周期性命定义： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都满足 ，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。 2．奇偶函数图象的对称性 ①若是偶函数，则的图象关于直线对称； ②若是偶函数，则 的图象关于点中心对称； 三、题型分析 (一) 判断或证明函数的单调性 【重难点突破】 1.（单调性不能混合乘除）复合函数的单调性①增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数； ②增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数； ③如果是增函数，那么是减函数，也是减函数。 例1.已知函数当时，求函数的最小值. 【解题思路】当时，，这是典型的“对钩函数”，欲求其最小值， 【名师指引】对于函数若，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到 而认为其最小值为，但实际上，要取得等号，必须使得，这时 所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想； 【变式训练1】．（1）.下列四个函数中，在区间上为减函数的是（ ） A．； B．； C．； D． 【答案】 C； 【解析】 显然在上是增函数，在上也是增函数， 而对求导得，对于， ，所以在区间上为增函数，从而应选择C （2）.已知 是上的减函数，那么的取值范围是 【答案】 ； 【解析】要在上是减函数，则，要在上为减函数，则需并且，所以 （3）．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D． 【答案】 A； 【解析】若函数在上是增函数，则对于恒成立，即对于恒成立，而函数的最大值为，实数的取值范围是 (二) 判断或证明函数的奇偶性 【重难点突破】 1.（奇偶性不能混合加减）复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数； 例2.判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）=|x+1|－|x－1|；（2）f（x）=（x－1）·； （3）；（4） 【思路点拨】判断函数的奇偶性应依照定义解决，但都要先考查函数的定义域。 【解析】 （1）函数的定义域x∈（－∞，+∞），对称于原点. ∵f（－x）=|－x+1|－|－x－1|=|x－1|－|x+1|=－（|x+1|－|x－1|）=－f（x）， ∴f（x）=|x+1|－|x－1|是奇函数. （2）先确定函数的定义域.由≥0，得－1≤x＜1，其定义域不对称于原点，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数. （3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得 故f（x）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x+2＞0. 从而有f（x）= =，∴f（－x）==－=－f（x） 故f（x）为奇函数. （4）∵函数f（x）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x＞0时，－x＜0， ∴f（－x）=（－x）［1－（－x）］=－x（1+x）=－f（x）（x＞0）. 当x＜0时，－x＞0，∴f（－x）=－x（1－x）=－f（x）（x＜0）. 故函数f（x）为奇函数. 【名师指引】函数的奇偶性是函数的一个整体性质, 定义域具有对称性 ( 即若奇函数或偶函数的定义域为D, 则时) 是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件 分段函数的奇偶性一般要分段证明.③判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式. 【变式训练1】定义在区间上的函数f (x)满足：对任意的，都有. 求证：f (x)为奇函数； 【思路点拨】欲证明为奇函数，就要证明，但这是抽象函数，应设法充 分利用条件“对任意的，都有”中的进行合理“赋值” 【解析】令x = y = 0，则f (0) + f (0) = ∴ f (0) = 0，令x ... ...
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