中小学教育资源及组卷应用平台 专题13 共线向量问题 一、考情分析 二、经验分享 三点共线问题证题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”. 【方法梳理】 1.给出,等于已知与的中点三点共线; 2. 给出以下情形之一： ①；②存在实数； ③若存在实数,等于已知三点共线； 三、题型分析 (一) 用斜率法证明三点共线 例1.（2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三第一次调研）已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 . （1）求点的坐标； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）可知， 设 则， 又， 所以 解得 所以. （2）据题意，直线的斜率必不为 所以设将直线方程代入椭圆的方程中， 整理得， 设 则① ② 因为 所以且 将①式平方除以②式得 所以 又解得 又， 所以 令， 则 所以 【变式训练1】（2020·河南省安阳市高三一模（理）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，M是椭圆E上的一个动点，且的面积的最大值为. （1）求椭圆E的标准方程， （2）若，，四边形ABCD内接于椭圆E，，记直线AD，BC的斜率分别为，，求证:为定值. 【答案】（1）（2）证明见解析 【解析】 （1）设椭圆E的半焦距为c，由题意可知， 当M为椭圆E的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值. 所以，所以，， 故椭圆E的标准方程为. （2）根据题意可知，，因为， 所以可设直线CD的方程为. 由，消去y可得， 所以，即. 直线AD的斜率， 直线BC的斜率， 所以 ，故为定值. (二) 用向量证明三点共线 例2．（2019全国I理19）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P． （1）若，求l的方程； （2）若，求． 【解析】设直线． （1）由题设得，故，由题设可得． 由，可得，则． 从而，得．所以的方程为． （2）由可得．由，可得． 所以．从而，故． 代入的方程得．故． 【变式训练2】（2020届河南省六市高三第一次模拟）设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，. （1）求椭圆的方程； （2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1），所以，，化简得， 所以，，所以方程为； （2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设， 所以由，得， 所以， 由，得，代入， 化简得：， 由于，所以，同理可得， 所以，所以当时，最小为。 例3．（2018北京）已知抛物线：经过点．过点的直线与抛物线 有 两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于． (1)求直线的斜率的取值范围； (2)设为原点，，，求证：为定值． 【解析】(1)因为抛物线经过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为． 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为（）． 由得． 依题意，解得或． 又，与轴相交，故直线不过点．从而． 所以直线斜率的取值范围是． (2)设，． 由(1)知，． 直线的方程为． 令，得点的纵坐标为． 同理得点的纵坐标为． 由，得，． 所以． 所以为定值． 【变式训练1】（2020届山西省大同市第一中学高三一模）在平面直角坐标系中，已知，动点满足 （1）求动点的轨迹的方程； （2） ... ...
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