中小学教育资源及组卷应用平台 专题03 二次求导函数处理（二阶导数） 考情分析 1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。 3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域； ②求函数的导数，无法判断导函数正负； ③构造求，求； ④列出的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。 二、经验分享 方法[来源:学科网] 二次求导 使用情景 对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出. 解题步骤 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 三、题型分析 (一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围 例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化） 已知关于的不等式在上恒成立，则整数的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B． 【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令时，化简：； 令时，，化简 你还可以在算出3,4，选择题排除法。B为最佳选项。 【第二种解法（二次求导）】： 构造 求导，令，即， 再令，在，，在上是单调递减， 设点，在递减；在递增， 所以=，，， 所以m的最大值是2. 【变式训练1】若不等式对任意的都恒成立，则整数的最大值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】因为变形令 求导：，令求导 在上为增函数； 令=0，零点满足即， 所以在时，是单减， 在时，是单增的 ，再令， , 所以，，取整数，那么的最大值是4 【变式训练2】【2019浙江22】已知实数，设函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）对任意均有 求的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数） 【解析】：（Ⅰ）当时，． ， 所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）． （Ⅱ）由，得．当时，等价于． 令，则．设 ，则 ． （i）当 时，，则． 记，则. 1 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以， ． 因此，． （ii）当时，． 令 ，则， 故在上单调递增，所以． 由（i）得．所以，． 因此． 由（i）（ii）得对任意，， 即对任意，均有． 综上所述，所求a的取值范围是 【变式训练3】【浙江省温州市2019—2020学年11月高三一模数学，21题】 已知实数，设函数．（为自然对数的底数） （1）求函数的单调区间； （2）当时，若对任意的，均有，求的取值范围． 【解析】 （I）由，解得． ①若，则当时，，故在内单调递增； 当时，，故在内单调递减． ②若，则当时，，故在内单调递增； 当时，，故在内单调递减． 综上所述，在内单调递减，在内单调递增． （II），即（﹡）． 令，得，则． 当时，不等式（﹡）显然成立， 当时，两边取对数，即恒成立． 令函数，即在内恒成立． 由，得． 故当时，，单调递增；当时，， 单调递减. 因此． 令函数，其中， 则，得， 故当时，，单调递减；当时，，单调 递增． 又，， 故当时，恒成立，因此恒成立， 即当时，对任意的，均有成立 (二) 利用二次求导证明不等式 例2.【 ... ...
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