中小学教育资源及组卷应用平台 三角形中的三角函数重难点突破 考情分析 根据条件确定三角形中角、边、周长或面积的取值范围是解三角形中较难的一类问题,常作为客观题中的压轴题或解答题中的第二问. 二、经验分享 (1)若△ABC是锐角三角形,则,、 (2)若△ABC中,若A是锐角,则；若A是钝角,则 (3) △ABC中,若,则,,=. (4)若成等差数列,则 三、题型分析 (一)正余弦定理与三角恒等变换的综合应用 例1．（2010江苏）在锐角三角形，，，分别为内角，，所对的边长， ，则=_____． 【答案】4 【解析】（方法一） 考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性． 当A=B或a=b时满足题意，此时有：，， ，，= 4． （方法二）， ． 由正弦定理，得：上式． 【变式训练1】．已知的内角，，满足= ，面积满足，记，，分别为，，所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，由 得， 即， 整理得， 又， 因此，由 得， 即，因此选项C、D不一定成立．又， 因此，即，选项A一定成立．又， 因此，显然不能得出，选项B不一定成立．综上所述，选A． 【变式训练2】．已知的内角的对边分别为，若 （1）求角C； （2）BM平分角B交AC于点M，且，求. 【解析】（1）由题 又 （2）记，则，在中，， 在中，，即 即或（舍） (二) 正余弦定理与平面向量的综合应用 例2．在△ABC中，A>B，BC=10，，，若点P是△ABC所在平面内任意一点， 则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】：如图，作，D在边BC上，则 在△ACD中，，则 由正弦定理知：CD=4AD=4BD，则BC=CD+BD=5BD=10 故BD=AD=2，CD=8，又，故，则 又，即，故选D． 【变式训练1】.（2019江苏12）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与 CE交于点.若，则的值是 . 【解析】： 设， ， 所以，解得， 所以，， ， 因为，所以， 所以，所以. 【变式训练2】.设，分别在轴正半轴和轴正半轴上运动，以为边向外作正（与不重叠），且正的边长为，为的中点，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】设0A与x轴的夹角为，写出， 所以，最大值 【变式训练3】.已知的外接圆圆心为O，，，若 （为实数）有最小值，则参数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由已知得： 原式有最小值； 所以 (三) 解三角形应用举例 例3．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B 点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的 救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？ 【解析】由题意知海里， 在中，由正弦定理得 =， 又海里， 在中，由余弦定理得 = 30（海里），则需要的时间（小时）． 答：救援船到达点需要1小时． 【变式训练1】某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=． （1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？ 【解析】（1），同理：，． AD—AB=DB，故得，解得． 因此，算出的电视塔的高度是124m． （2）由题设知，得， ，（当且仅当时， 取等号）故当时，最大． 因为，则，所以当时，-最大．故所求的是m． 四、迁移应用 1．在中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以由余弦定理， 得， 所以，故选A． 2．的内角，，的对边分别为，，，若的面积为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知， 所以，所以在中，．故选C． 3．已知的 ... ...
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