中小学教育资源及组卷应用平台 突破3.4 基本不等式重难点突破 考情分析 经验分享 【基本不等式(或)均值不等式】 【基本不等式的变形与拓展】 1．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）． 2．(1)若,则；(2)若,则（当且仅当时取“=”）； (3)若,则（当且仅当时取“=”）． 3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）． 5．一个重要的不等式链：． 6．函数图象及性质 (1)函数图象如右图所示： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：；单调递减区间：． 7.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”； (2)求最值的条件“一正,二定,三相等”； (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 三、题型分析 (一) 利用基本不等式求最值 例1.（1）若，则的最小值为 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）函数的最大值为（ ） A． B． C． D．1 【变式训练1】.已知，则的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D．5 【变式训练2】.的最小值为 。 【考点点睛】 1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即 (1)一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可． 2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分或配凑因式． (二) 不等式变形技巧：“1”的代换 例2.（1）设若的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D （2）函数的图象恒过定点，若点在直线 上，则的最小值为 ． 【变式训练1】.函数的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最小值为_____. 【变式训练2】.设是正实数,且,则的最小值是_____． 【考点点睛】 1.应用基本不等式求最值时，经常要对所给式子进行变形，配凑，变形的目标是能配凑出“和”或“积”为定值的条件． 2．若条件式是ax＋by＝c(a，b，c都是正常数)，常常进行常数代换(或乘除常数)．如x＋y＝1(x>0，y>0)求＋的最值时，可以将1＝x＋y,2＝2(x＋y)代入，也可以变形＋＝(＋)·1＝(＋)·(xy)．两种方法本质相同，若已知条件为2x＋y＝3(x>0，y>0)，求＋的最值时，可利用＋＝(＋)(2x＋y)变形． 3．求二元函数最值时，可以用代入消元法转化，但要注意根据被代换的变量的范围，对保留下的变量的范围加以限制． (三) 不等式的证明技巧与综合处理技巧 例3．已知，，，求证：. 【变式训练1】已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． (四) 均值不等式在实际问题中的应用 例4.围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元）。 （Ⅰ）将y表示为x的函数：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。 【变式训练1】如图，金砂公园有一块边长为的等边的边角地，现修成草坪，图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上. （Ⅰ）设，，求关于的函数关系式； （Ⅱ）如果是灌溉水管，我们希望它最短，则的位置应在哪里？请予以证明. (五) 不等式的综合应用求参数的取值范围问题 例5.已知>0,>0,且,若恒成立,则实数的取值范围 ... ...
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