剖析求二面角

数理 剖 析 求 二 面 角 湘西自治州花垣县边城高级中学 黄市平 二面角是《立体几何》中的重要内容之一，也是每年高考的热点内容。随着教材的改革求二面角的方法进一步拓展，可以用传统的方法；也可以用向量法求解。本文从各个不同的角度入手，结合高考题形对求二面角的方法进行归纳如下： 先作后求 在传统的方法中作二面角的平面角是解决二面角问题的关键，也是难点，找到了二面角的平面角后，“空间”问题既可转化为“平面”问题，再利用解三角形的相关知识可求得二面角的大小，即作—证—求三步。在一般情况下涉及到的作法可归结为以下三种： （一）定义法：利用二面角的平面角定义在二面角的棱上取一点，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成角就是二面角的平面角。 （二）三垂线法：利用三垂线定理及其逆定理通过证明线线垂直，找到二面角的平面角，关键在于找面的垂线。 （三）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角的两个半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。 例1、（2002年高考江苏）四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，PB垂直于面ABCD，证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。 分析：注意到题目中所给的二面角，面PAD与面PCD，其棱为PD，因而围绕PD而考虑问题的解决途径。 证法一：利用定义法。 过点A在PDA平面内作AE⊥PD于点E，连结CE。 ∵底是正方形，故CD=DA，△CED≌△AED， AE=EC，∠CED=∠AED=90°。则CE⊥PD， 故∠CEA是面PAD与面PCD所成二面角的平面角。 设AC与BD交于点O，连结EO，则EO⊥AC。 ∵OA=×=a，AE＜AD=a，即AE＜OA COS∠AEC==＜0， ∴面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。 证法二：运用三垂线法。 ∵PB⊥面ABCD，则PB⊥AD。又AD⊥AB ∴AD⊥面PAB，即面PAB⊥面PAD。 过点B作BE⊥PA，则BE⊥面PAD。 在面PBC内作PG∥BC且PG=BC，连结GD。 过点C作CF⊥面PAD于点F，那么连结EF， 则EF∥AD且EF=AD。 过点F作FH⊥PD于点H，连结CH， 则∠FHC就是所求二面角的平面角的补角。 ∵CF⊥FH，故∠FHC是锐角， ∴面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°。 证法三：利用垂面法找平面角。 在证法一所给的图形中，连结AC、BD， ∵AC⊥BD，PB⊥面ABCD， ∴AC⊥PD。 过点A作AE⊥PD于点E，那么有PD⊥面AEC，连结CE，即PD⊥CE。 故PD与平面AEC垂直后，面AEC与面ADC及面ADP的交线EA、EC构成的∠CEA就是二面角的平面角。以下同证法一。 评述：证法一用的是定义法，平面角的一边是作出，而另一边是证得；证法二用的是三垂线法，关键在于找面PAD的垂线CF，并且证明过程渗透着用立体几何的割补法求解问题的思想；证法三是利用作垂直于棱的垂面找交线。 求而不作 用面积法求解二面角（面积射影） 在运用上述方法找二面角平面角时，不一定所有问题都能解决，这时就应想到转化思想，即不直接找或作二面角的平面角，而是把问题加以转化，下面介绍一种求二面角的方法，就是射影面积公式COS=，是二面角的大小，是一面积为S的平面图形在另一面内的射影面积。 例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成二面角的大小。 解：△EB1C在底面ABCD内的射影三角形为Rt△ABC ∵E点的射影为点A，B1点的射影为点B。 设正方体的棱长为a则S△ABC=a2 又在△EB1C中， B1E=a ，B1C=a ，EC=a 故COS∠B1EC== ∴sin∠B1EC=，==。 设面EB1C和面ABCD所成的二面角为， 则COS=== 。 那么所求二面角的大小为arccos 。 评述：此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便。， 。 利用向量法求解二面角 对二面角的求解要加以注意,除了传统的作出二面角的平面角外,还可以利用平面的法向量来求解,避免了做二面 ... ...