1.2.4 二面角 核心素养 1.掌握二面角的概念.(数学抽象) 2.理解二面角的平面角的含义.(直观想象、逻辑推理) 3.会用向量法解决二面角的计算问题.(数学运算) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”,黄道面与地球赤道面的交角(二面角的平面角)为23°26'.黄道面与天球相交的大圆称为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带,太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座,称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起,每30°便是一宫,并冠以星座名,如白羊座、狮子座、双子座等等,这便是星座的由来. 激趣诱思 知识点拨 1.二面角及其度量 激趣诱思 知识点拨 微练习 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所成二面角的大小为 .? 答案:45° 微思考 两个平面相交时,它们所成角的取值范围是什么? 提示:(0°,90°] 激趣诱思 知识点拨 2.用空间向量求二面角的大小 (1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=或θ=π-,特别地,sin θ=sin. (2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2, 激趣诱思 知识点拨 名师点析 利用公式cos= (n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断. 如图(2)(4)中就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图(1)(3)中就是二面角α-l-β的平面角. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.( ) (2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.( ) 答案:(1)× (2)√ 激趣诱思 知识点拨 微练习 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的角的余弦值为( ) 激趣诱思 知识点拨 解析: 答案:B 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 二面角的平面角问题 例1 如图所示,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值. 分析由PC⊥平面ABC,知平面ABC⊥平面PAC,从而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用三垂线定理作出二面角的平面角. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 解:∵PC⊥平面ABC, ∴平面PAC⊥平面ABC,交线为AC.作BD⊥AC于D点,据面面垂直性质定理,BD⊥平面PAC,作DE⊥PA于E点,连接BE,据三垂线定理,则BE⊥PA,从而∠BED是二面角B-PA-C的平面角. 设PC=a,依题意知△ABC是边长为a的正三角形, 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解. 2.二面角的定义求法主要有: (1)由定义作出二面角的平面角; (2)利用三垂线定理(逆定理)作出二面角的平面角; (3)作二面角棱的垂面,则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 变式训练1 如图,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小. 解:设平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB. ∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a. 同理PB⊥a.∴a⊥平面PAOB. 又∵OA?平面PAOB,∴a⊥OA. 同理a⊥OB. ∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角. 在四边形PAOB中,∠AOB=120°, ∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 利用空间向量求二面角 例2 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等,AC∩BD=O,A1C1∩B1D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形. (1)证明:O1O⊥底面ABCD; (2)若∠CBA=60°,求二面角C1-OB1-D的余弦值. 探究一 探究二 素养形成 当堂检测 (1)证明:因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形,所以CC1⊥AC,DD1⊥BD, 又CC1∥DD1∥OO1,所以OO1⊥AC,OO1⊥BD, 因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD. (2)解:因 ... ...
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