1.2.5 空间中的距离 核心素养 1.理解图形与图形之间的距离的概念.(数学抽象) 2.理解并掌握两点之间、点到直线、点到平面、相互平行的直线与平面、相互平行的平面与平面之间的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离.(直观想象、数学运算) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 在生活中可以看到很多道路上都有限高杆.主要的作用就是为了防止过高的车辆通过,以保障车辆和路上的设备设施的安全.比如限高路段内有不能移动的重要电缆、管道,或者涵洞,或者附近有高速路桥、铁路桥等.图中所示,限高3.1米,同学们,你知道3.1 m指的哪段距离,数学中的距离是如何定义的呢? 激趣诱思 知识点拨 1.空间中两点之间的距离 微练习 若已知点A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则线段AB的长为( ) 答案:A 激趣诱思 知识点拨 2.点到直线的距离 n0是直线l的单位方向向量,A∈l,则点P到直线l的距离 微判断 直线l外一点A到直线l的距离就是在直线l上任取一点B,点A与点B之间线段的长度.( ) 答案:× 激趣诱思 知识点拨 3.点到平面的距离 一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离 微判断 平面α外一点A到平面α的距离,就是点A与平面内一点B所成向量 的长度.( ) 答案:× 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为( ) 答案:D 激趣诱思 知识点拨 4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 (1)如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为 (2)如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量(当然也是平面α的一个法向量),A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为 名师点析 解决立体几何问题的三种方法 1.综合方法:以逻辑推理作为工具解决问题. 2.向量方法:利用向量的概念及其运算解决问题. 3.坐标方法:建立直角坐标系,利用坐标表示几何对象或向量,通过运算解决几何问题. 激趣诱思 知识点拨 微判断 (1)直线l∥平面α,则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.( ) (2)若平面α∥平面β,则两平面α,β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离,也可转化为平面α内某点到平面β的距离.( ) 答案:(1)√ (2)√ 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知平面α∥平面β,直线l?α,α与β之间的距离为d,有下列四个命题: ①β内有且仅有一条直线与l的距离为d; ②β 内所有的直线与l的距离都等于d; ③β内有无数条直线与l的距离为d; ④β内所有直线与α的距离都等于d. 其中真命题是( ) A.① B.② C.①④ D.③④ 解析:在直线l上任取一点O,过O作OA⊥β于A,在平面β内,与l不平行的所有直线与l距离都是d,否则不一定是d,所以①②错误,故选D. 答案:D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求两点间的距离 例1已知在矩形ABCD中,AB=4,AD=3,沿对角线AC折叠,使平面ABC与平面ADC垂直,求点B,D之间的距离. 分析本题既可利用向量模求解,也可建立坐标系利用距离公式求解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解法二过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF⊥AC于点F,过点E作FB的平行线EP,以E为坐标原点,EP,EC,ED所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 若将例1中条件“使平面ABC与平面ADC垂直”变为“使平面ABC与平面ADC重叠”,则结论又如何? 解:当改变条件后,就变为了平面几何问题,如图所示,BD=EF,又由例1中结论可知BD=AC-2AE= . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练1如图,正三棱 ... ...
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