中小学教育资源及组卷应用平台 第三节 幂函数 一、电子版教材 二、教材解读 知识点一 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 例题1．（2020·浙江省高一单元测试）已知幂函数的图象过点，则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵幂函数的图象过点， ， ， ， ，故选A． 例题2．（2020·贵溪市实验中学高二期末（文））已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为( ) A．2 B．－1 C．－1或2 D．0 【答案】B 【解析】由题意得，故选：B. 知识点二 幂函数的图象及应用 例题1．在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 例题2．（2020·浙江省高一课时练习）下列关于幂函数的结论，正确的是（ ）. A．幂函数的图象都过点 B．幂函数的图象不经过第四象限 C．幂函数为奇函数或偶函数 D．幂函数在其定义域内都有反函数 【答案】B 【解析】幂函数不过点，则A错误； 当时，，则幂函数的图象不经过第四象限，则B正确； 的定义域为，不关于原点或轴对称，则C错误； 在内无反函数，则D错误； 例题3．（2020·浙江省高一课时练习）如图，函数、、的图象和直线将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧．若幂函数的图象经过的部分是④⑧，则可能是（ ） A．y＝x2 B． C． D．y=x-2 【答案】B 【解析】由图象知，幂函数的性质为： （1）函数的定义域为； （2）当时，，且；当时，，且； 所以可能是. 例题4．（2020·浙江省高一课时练习）下面4个图象都是幂函数的图象，函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由幂函数的性质可知，函数的图象在上单调递减，则AC错误； 令， 因为，所以函数为偶函数，则D错误； 例题5．（2020·浙江省高一期末）已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为： 知识点三 幂函数的性质运用 1.幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞)时，增函数x∈(－∞，0]时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞)时，减函数x∈(－∞，0)时，减函数 例题1．（2020·广西壮族自治区北流市实验中学高三开学考试（理））若，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，由，但并不清楚之间大小关系 所以大小关系不明确，则A,B不对 因为，由，所以 有在单调递增，所以，故C正确，D错误 例题2．（2020·全国高一）若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：开口向下，对称轴为，在区间上是减函数， ①， 又在区间上是减函数， ②， 由①②可得． 例题3．（2020·上海高三专题练习）满足的实数m的取值范围是（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】幂函数在为减函数，且函数值为正， 在为减函数，且函数值为负， 等价于， 或或， 解得或或， 所以不等式的解集为. 例题4．（2020·天津市第五中学高二期中）已知函数f（x）=x2–m是定义在区间[–3–m，m2–m]上的奇函数，则 A．f（m）f（1） D．f（m）与f（1）大小不确定 【答案】A 【解析】因为幂函数f（x）是奇函数，奇函数的定义域必然关于原点对称， 所以（–3–m）+（m2–m）=0，解得m=–1或m=3． 当m=–1时，函数f（x）=x3，–2≤x≤2，所以f（m）=f（–1）
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