6.1.3 基本初等函数的导数 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解导函数的概念．(难点)2．能根据定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点) 1.通过导函数概念的学习，培养数学抽象的素养．2．通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升数学运算素养. 在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x及y＝4x的图像，并根据导数定义，求它们的导数． 问题1：从图像上看，它们的导数分别表示什么？ 问题2：函数y＝kx(k≠0)增(减)的快慢与什么有关？ 1．导数的概念 一般地，如果函数y＝f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导．此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在f(x)的定义域内，f′(x)是一个函数，称其为函数y＝f(x)的导函数．记作f′(x)(或y′，y′x)， 即f′(x)＝y′＝y′x＝ . 思考1：f′(x0)与f′(x)相同吗？ [提示] 不同．f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值． 2．导数公式表 ①C′＝0. ②(xα)′＝αxα－1. ③(ax)′＝axln_a. ④(logax)′＝. ⑤(sin x)′＝cos_x. ⑥(cos x)′＝－sin_x. 思考2：函数y＝ex及y＝ln x的导数分别是多少？ [提示] (ex)′＝ex，(ln x)′＝. 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数． ( ) (2)若y＝，则y′＝×2＝1. ( ) (3)若f′(x)＝sin x，则f(x)＝cos x． ( ) (4)若y＝，则y′＝. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．给出下列命题： ①y＝ln 2，则y′＝； ②y＝，则y′＝－； ③y＝2x，则y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则y′＝. 其中正确命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 C [对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.] 3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于( ) A. B．10 C．10ln 10 D. C [∵f′(x)＝10xln 10， ∴f′(1)＝10ln 10.] 4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为_____． y＝e2(x－1) [∵y′＝ex， ∴y′|x＝2＝e2， ∴在点(2，e2)处的切线方程为y－e2＝e2(x－2)， 即y＝e2(x－1)．] 利用导数公式求函数的导数 【例1】 求下列函数的导数： (1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x. [思路点拨] 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式． [解] (1)y′＝(x12)′＝12x11. (2)y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－. (3)y′＝()′＝(x)′＝x－. (4)y′＝(3x)′＝3xln 3. (5)y′＝(log5x)′＝. 1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解． 2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误． 3．要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别． 1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x, 则f′(x)－g′(x)＝_____. 3x2－ [∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝， ∴f′(x)－g′(x)＝3x2－.] 利用公式求函数在某点处的导数 【例2】 质点的运动方程是s＝sin t. (1)求质点在t＝时的速度； (2)求质点运动的加速度． [思路点拨] (1)先求s′(t)，再求s′. (2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导． [解] (1)v(t)＝s′(t)＝cos t，∴v＝cos ＝. 即质点在t＝时的速度为. (2)∵v(t)＝cos t， ∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cos t)′＝－sin t. 1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数． 2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 2．(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数； (2)求函数f(x)＝cos x在处的导数． [解] (1)∵f′(x)＝′ ... ...
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