6.2 利用导数研究函数的性质 6．2.1 导数与函数的单调性 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解导数与函数的单调性的关系．(易混点)2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．(重点)3．会用导数求函数的单调区间．(重点、难点) 1.通过利用导数判断函数单调性法则的学习，提升数学抽象素养．2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，提升逻辑推理、数学运算素养. 图(1)表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图像，图(2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图像． 问题：运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ (1) (2) 导数与函数的单调性的关系 (1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示； (2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示． (1) (2) 思考1：如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么函数f(x)有什么特性？ 思考2：在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上为单调增函数的什么条件？ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则函数f(x)在定义域上单调递增． ( ) (2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”． ( ) (3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大． ( ) 2.函数y＝f(x)的图像如图所示，则( ) A．f′(3)>0 B．f′(3)<0 C．f′(3)＝0 D．f′(3)的正负不确定 3．已知函数f(x)＝x2－x，则f(x)的单调递增区间为_____． 4．(一题两空)若定义域为R的函数f(x)的导数f′(x)＝2x(x－1)，则f(x)在区间_____内单调递增，在区间_____内单调递减． 函数与导函数图像间的关系 【例1】 (1)函数y＝f(x)的图像如图所示，给出以下说法： ①函数y＝f(x)的定义域是 [－1,5]； ②函数y＝f(x)的值域是 (－∞，0]∪[2,4]； ③函数y＝f(x)在定义域内是增函数； ④函数y＝f(x)在定义域内的导数f′(x)>0. 其中正确的是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．②④ (2)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( ) 研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其图像在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致. 1．(1)设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不正确的是( ) A B C D (2)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( ) A B C D 利用导数求函数的单调区间 角度一 不含参数的函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间． (1)f(x)＝3x2－2ln x；(2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋. 角度二 含参数的函数的单调区间 【例3】 讨论函数f(x)＝ax2＋x－(a＋1)ln x(a≥0)的单调性． 利用导数求函数单调区间的步骤 ?1?确定函数f?x?的定义域. ?2?求导数f′?x?. ?3?由f′?x?>0?或f′?x?<0?，解出相应的x的范围.当f′?x?>0时，f?x?在相应的区间上是增函数；当f′?x?<0时，f?x?在相应的区间上是减函数. ?4?结合定义域写出单调区间. 2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间. 已知函数的单调性求参数的范围 [探究 ... ...
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