6．2.2 导数与函数的极值、最值 第1课时 函数的导数与极值 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解极值、极值点的概念，明确极值存在的条件．(易混点)2．会求函数的极值．(重点)3．能利用导数解决与函数极值相关的综合问题．(难点) 1.通过学习函数的极值、极值点等概念，培养数学抽象素养．2．利用导数求函数的极值，提升逻辑推理、数学运算素养. 在群山之中，某个山峰的顶端可能不是群山的最高点，但它一定是其附近的最高点；某个山谷，可能不是群山的最低点，但它一定是附近的最低点．对于连续函数，有类似的性质． “极大”与“极小”都是文艺复兴时期德意志库萨的尼古拉用语．他认为一个事物，如果没有比它更大的事物存在，就叫做最大或极大．他还认为上帝是无限的极大，宇宙是相对的极大，而宇宙中的万物是极小． 1．函数的极值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有 (1)f(x)f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小． 思考1：极大值一定比极小值大吗？ 2．函数的导数与极值 一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0. (1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点． (2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0，对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点． (3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点． 思考2：“f′(x0)＝0”是“x0是y＝f(x)的极值点”的什么条件？ 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)导数值为0的点一定是函数的极值点． ( ) (2)极大值一定比极小值大． ( ) (3)函数f(x)＝有极值． ( ) (4)函数的极值点一定是其导函数的变号零点． ( ) 2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)( ) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 3．函数f(x)＝－的极值点为( ) A．0 B．－1 C．0或1 D．1 4．(一题两空)若可导函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则f′(1)＝_____，1是函数f(x)的_____值点． 求函数的极值或极值点 【例1】 求下列函数的极值． (1)f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1； (2)f(x)＝x2－2ln x. 求可导函数f?x?的极值的步骤 ?1?确定函数的定义域，求导数f′?x?. ?2?求方程f′?x?＝0的根. ?3?利用f′?x?与f?x?随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 1．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4. (1)求a，b的值； (2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值． 利用函数的极值求参数 【例2】 (一题两空)(1)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＝_____，b＝_____. (2)若函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为_____． 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： ?1?根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解. ?2?因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(0，＋∞) C．(0,1) D．(－1,0) 函数极值的综 ... ...
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