[巩固层·知识整合] [提升层·题型探究] 求数列的通项公式 【例1】 已知数列{an}中，an>0，Sn是数列{an}的前n项和，且an＋＝2Sn，求an. [解] 将an＋＝2Sn变形为a＋1＝2Snan. 将an＝Sn－Sn－1(n≥2)代入并化简，得S－S＝1. 由已知可求得S1＝a1＝1. ∴数列{S}是等差数列，公差为1，首项为1. ∴S＝1＋(n－1)·1＝n. ∵an>0，∴Sn>0. ∴Sn＝. ∴n≥2时，an＝－. 而n＝1时，a1＝1也适合上式． ∴数列{an}的通项公式为an＝－，n∈N＋. 1．定义法 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目． 2．已知Sn求an 若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解． 3．由递推公式求数列通项法 (1)已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an. (2)已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an. (3)已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an. (4)已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an. 1．已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n－n，求数列{an}的通项公式． [解] 由an＋1－an＝3n－n， 得an－an－1＝3n－1－(n－1)， an－1－an－2＝3n－2－(n－2)， … a3－a2＝32－2， a2－a1＝3－1. 当n≥2时，以上n－1个等式两边分别相加，得 (an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1) ＝3n－1＋3n－2＋…＋3－[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]， 即an－a1＝－. 又∵a1＝1， ∴an＝×3n－－. 显然a1＝1也适合上式， ∴{an}的通项公式为an＝×3n－－. 等差、等比数列的判断 【例2】 已知数列{an}、{bn}满足：a1＝1，a2＝a(a为常数)，且bn＝an·an＋1，其中n＝1,2,3，…. (1)若{an}是等比数列，试求数列{bn}的前n项和Sn的公式； (2)当{bn}是等比数列时，甲同学说：{an}一定是等比数列；乙同学说：{an}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？ [解] (1)因为{an}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0， an＝an－1. 又bn＝an·an＋1， 则b1＝a1·a2＝a，＝＝＝＝a2， 即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列． 所以Sn＝ (2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下： 法一：设{bn}的公比为q，则＝＝＝q，且a≠0， 又a1＝1，a2＝a，a1，a3，a5，…，a2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列；a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列． 即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…， 当q＝a2时，{an}是等比数列；当q≠a2时，{an}不是等比数列． 法二：{an}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下： 设{bn}的公比为q. ①取a＝q＝1时，an＝1(n∈N＋)， 此时bn＝anan＋1＝1，{an}、{bn}都是等比数列． ②取a＝2，q＝1时，an＝ bn＝2(n∈N＋)． 此时{bn}是等比数列，而{an}不是等比数列． 判定一个数列是等差或等比数列的常用方法： ?1?定义法,an＋1－an＝d?d为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,＝q?q为非零常数，n∈N＋??{an}是等比数列. ?2?中项法,2an＋1＝an＋an＋2?n∈N＋??{an}是等差数列.,＝anan＋2?anan＋1an＋2≠0，n∈N＋??{an}为等比数列. ?3?通项公式法,an＝pn＋q?p，q为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,an＝c·qn?c，q均为非零常数，n∈N＋??{an}是等比数列. ?4?前n项和公式法,Sn＝An2＋Bn?A，B均为常数，n∈N＋??{an}是等差数列.,Sn＝kqn－k?k为常数，q≠1且q≠0，n∈N＋??{an}是等比数列. 2．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数． (1)求证：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由． [解] (1)证明：由题意知anan＋1＝λSn－1， an＋1an＋2＝λSn＋1－1， 两式相减 ... ...
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