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课件网) 1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题. 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点 双曲线的几何性质 1.双曲线的几何性质 标准方程 图形 ? ? 性质 焦点 _____ _____ 焦距 _____ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c 性质 范围 _____ y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 对称轴： ，对称中心：_____ 顶点 _____ _____ 轴长 实轴长＝ ，虚轴长＝___ 离心率 _____ 渐近线 _____ _____ x≥a或x≤－a，y∈R x轴、y轴 坐标原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 2a 2b 2.等轴双曲线 实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，它的渐近线方程是 ，离心率为 . 思考 能否用a，b表示双曲线的离心率？ y＝±x 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU × √ √ × 2 题型探究 PART TWO 一、由双曲线的方程研究其几何性质 例1 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程. 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4， 延伸探究 把本例中的双曲线方程改为9y2－4x2＝36，再求顶点坐标、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 所以顶点坐标为(0，－2)，(0,2)， 反思感悟 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤 跟踪训练1 (1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于 √ 解析 双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(±1,0)，渐近线为y＝±x， 所以x±y＝0， (2)已知F1，F2分别是双曲线的左，右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 √ 解析 不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a. 因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°， 所以|PF2|＝|F1F2|＝2c， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c， 所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2， 即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2， 得e2－2e－1＝0. 二、由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为 ； ∴a＝5，b2＝c2－a2＝144， ① ② 由①②联立，无解. ③ ④ 由③④联立，解得a2＝8，b2＝32. ∵A(2，－3)在双曲线上， (3)过点(2,1)的等轴双曲线. 解 设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2,1)，则λ＝3， 反思感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可；当焦点位置不明确时，应注意分类讨论，也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2＋ny2＝1(mn<0)，从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y＝ 时，可以将方程设为 ＝λ(λ≠0). ∵点M(3，－2)在双曲线上， ∴a2＝3b2. ① 又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， ② 解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1. 三、双曲线的几何性质的应用 例3 (1)已知F为双曲线C：x2－my2＝4m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为 A.2 B.4 C.2m D.4m √ 即双曲线的焦点到渐近线的距离为半虚轴长b， ∴b2＝4，∴b＝2. √ (3)已知F1，F2是双曲线 ＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边 作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率e＝_____. 解析 方法一 以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上， 方法二 如图所示， 点A为MF1的中点，点A在双曲线上，连接AF2， △MF1F2为等边三角形， ∵△AF1F2为直角三角形，∠AF2F1＝30°， 反思感悟 双曲线的渐近线、离心率的应用 依据条件建立参数a，b，c的关系，利用a，b，c的关系式c2 ... ...
