1.2函数及其表示方法知识讲解 教案(含答案)

中小学教育资源及组卷应用平台 函数及其表示方法 一、知识梳理 要点一、函数的概念 1．函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，xA． 其中，x叫做 ，x的取值范围A叫做函数的 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的 . 要点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性。 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的 无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类： 、 、 ；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示． 区间表示： 要点二、函数的表示法 1．函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 2．分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 要点三、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从 的映射；记为 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做 ，a叫做 . 要点诠释： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一；(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；(3)a的象记为f(a). 2.如何确定象与原象 对于给出原象要求象的问题，只需将原象 对应关系中，即可求出象.对于给出象，要求原象的问题，可先假设 ，再代入 中得已知的象，从而求出原象；也可根据对应关系，由象逆推出原象. 3.函数与映射的区别与联系： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B的函数，记为y=f(x). 要点诠释： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合. 4.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使 的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母 ，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数 以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有 . (3)求函数的定义域，一般是转化为解 的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用 来表示. 5.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元 ... ...