题型分类学案：正余弦函数图像与性质（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 题型分类：正弦函数与余弦函数的图像与性质 【知识归纳】 要点一：基本三角函数表 0 sin 0 1 0 -1 cos 1 0 -1 0 tan 0 1 不 -1 0 1 不 -1 要点二：三角函数图像 1.正余弦函数的图像 2.五点画图法 画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0) 画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1) 【五点法作图】 例1.用“五点法”作出下列函数的图象： 　 ，． ，． 【变式1】用“五点法”作出下列函数的图象： 　 ． 【变式2】画出、与y=-sinx的三个图像并对比一下与y=sinx的图像有何不同； 要点三：三角函数图像的性质 y=sinx y=cosx 定义域 (-∞，+∞) (-∞，+∞) 值域 [-1，1] [-1，1] 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 增区间 减区间 周期性 最小正周期 最小正周期 最值 当时， 当时， 当时， 当时， 对称性 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 【正余弦图像的性质1-周期性】 例2.求函数其最小正周期 【变式1】求函数的周期 【变式2】已知正弦三角函数图象上相邻的最高点与最低点的坐标分别为，求该函数的最小正周期 【变式3】求函数其最小正周期 【正余弦图像的性质2-对称性】 例3.函数是图象的一个对称中心是（ 　） 　　Ａ．　　　Ｂ．　 　Ｃ． 　　Ｄ． 答案c； 【变式1】函数的图象（ ） A．关于原点对称 B．关于点（－，0）对称 C．关于y轴对称 D．关于直线x=对称 答案：B； 【变式2】函数的图象的一条对称轴方程是（ ） A． B． C． D． 答案：A； 【变式3】如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案：A； 【正余弦图像的性质3-单调性】 例4.求函数的单调递减区间 。 答案：； 【变式1】的单调递增区间为 。 答案：； 【变式2】函数的单调减区间是 （ ） A． B． C． D． 答案：B； 【变式3】的单调递增区间为 。 【正余弦图像的性质4-最值】 例5.已知函数求当时，求的值域． 因为，所以 当=，即时，取得最大值为2； 当=，即时，取得最大值为-1． 【变式】已知函数的最小正周期为． （1）求的值； （2）求在上的取值范围． 【解析】（1） （2）． 【利用正余弦图像求不等式】 例6.画出正弦函数（x∈R）的简图，并根据图象写出： （1）时x的集合； （2）时x的集合。 【思路点拨】用“五点法”作出y=sin x的简图。 【解析】 （1）过点作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间与正弦曲线交于、两点，在[0，2π]区间内，时x的集合为。当x∈R时，若，则x的集合为。 （2）过、两点分别作x轴的平行线，从图象中看出：在[0，2π]区间，它们分别与正弦曲线交于，点和，点，那么当时，x的集合为 或 。 【变式1】已知，解不等式。 【解析】画出函数y=sin x，的图象，画出函数的图象，如下图，两函数的图象交于A、B两点，其中，，故满足的x的取值范围是。 【变式2】 【变式3】在内，使成立的X的取值范围是（ ） A B C D 答案：D； 要点四：y＝Asin(ωx＋φ)图像的性质 表示一个振动量时，A叫做振幅，叫做周期，叫做频率，叫做相位，x=0时的相位称为初相. 分析周期： 公式：。注意：分母是，有些题目如果忽略了绝对值就会出错。 求值域求值： 根据x的范围，求出ωx的范围，再求出ωx＋φ的范围，的图像，分析其值域即可。 对称轴、对称中心： 正弦对称轴： 令 ωx＋φ = + kπ (k∈Z)，解得 正弦对称中心：令 ωx＋φ = kπ (k∈Z)，解得 单调性、求单调区间： （方法1）画图，直接观察； （方法2）解以下不等式： 正弦单调增区间：2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)，正弦单调减区间：2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)；　 余弦单调增区间：2kπ+π≤ωx＋φ≤2kπ＋2π (k∈Z)，余弦 ... ...