杨浦高级中学2021届高三上学期9月月考 数学试卷 2020.09 一. 填空题 1. 已知集合，，则 2. 函数的定义域为 3. 如图，正方体，则直线与平面 所成角的大小为 （结果用反三角函数表示） 4. 方程的实数解为 5. 已知△中内角、、所对的边分别为、、， 若，，，则 6. 的二项展开式中，常数项为 7. 已知，，则不等式的解集为 8. 圆锥的侧面积是底面积的3倍，若圆锥的母线长为3， 则该圆锥的体积为 （结果保留） 9. 已知函数，（为常数）在区间 上是增函数，则实数的取值范围是 10. 如图，在三棱锥的平面展开图中，， ，，，， 则 11. 从1、3、5、7、9中任取2个不同的数字，从0、2、4、6中任取2个不同的数字，组成没有重复数字的四位数，则所组成的四位数是奇数的概率为 （用最简分数作答） 12. 已知函数，若关于的方程，恰有3个不同的实数根，则的取值范围是 二. 选择题 13. 已知、表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若∥，∥，则∥ B. 若，，则 C. 若，，则∥ D. 若∥，，则 14. 已知，则“存在使得”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分，1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，必定不变的数字特征是（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 方差 D. 极差（最大值与最小值的差） 16. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递减 D. 是奇函数，且在单调递减 三. 解答题 17. 在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面，. （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数表示） 18. 已知. （1）若，求的取值范围； （2）若是以2为周期的偶函数，且当时，，求函数，的反函数. 19. 如图所示，某校把一块边长为的等边△的边角地辟为生物园，图中把生物园分成面积相等的两部分，在线段上，在线段上（均含端点）. （1）设（），，求用表示的函数关系式； （2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，此时、分别长多少？如果是参观路线，即希望它最长，此时、又分别长多少？ 20. 函数，. （1）把的解析式改写为（，）的形式； （2）求的最小正周期并求在区间上的最大值和最小值； （3）把图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数的图像，再把函数图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若函数在区间上至少有20个零点，求的最小值. 21. 若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数， 则称函数在区间上是“弱增函数”. （1）分别判断，在区间上是否是“弱增函数” （不必证明）； （2）若函数（、是常数）在区间上是“弱增函数”， 求、应满足的条件； （3）已知（是常数且），若存在区间 使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围. 参考答案 一. 填空题 1. 2. 3. 4. 5. 5 6. 15 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二. 选择题 13. B 14. C 15. A 16. D 三. 解答题 17.（1）；（2）. 18.（1）；（2），. 19.（1），；（2）最短，；最长，，. 20.（1）；（2），最大值，最小值；（3）. 21.（1）是“弱增函数”，不是“弱增函数”；（2），； （3）. ... ...
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