高中数学人教A版(2019)必修第一册第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 教 案

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第一课时）》教学设计 教学目标 1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，了解一元二次不等式的现实意义，提升数学抽象素养； 2．能用二次函数的观点，看一元二次方程和一元二次不等式，并能求解二次方程和二次不等式问题，感悟数学知识的整体性和关联性，提升逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养． 教学重难点 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，并会借助二次函数求解一元二次不等式，体会函数思想、化归思想及数形结合的思想． 教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系． 课前准备 PPT课件． 教学过程 情境引入 问题1：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 m2，则这个矩形的边长为多少米？ 师生活动：学生独立思考，把实际问题中的数量关系用数学模型表示出来． 预设的答案：1．因为学生已经学习过基本不等式，所以部分学生会令矩形的一边长为x，另一边为y，可以得到此时还需要消元从而转化为一元二次不等式求解． 2．部分学生用一个未知数x即可表示问题中的不等式，但学生容易忘记自变量x的取值范围． 追问：不等式即，与我们学习过的一元一次不等式有什么不同？你能再举出一些类似的不等式吗？ 师生活动：学生可以回答这个问题．之后学生阅读课本获得定义，或者教师给出一元二次不等式的定义，一元二次不等式的一般形式：，并且强调二次项的系数a≠0． 设计意图：通过具体问题抽象出一元二次不等式的过程，明确一元二次不等式的定义和一般形式，体会一元二次不等式的现实意义． 探究新知 1．探究一元二次不等式的解法 问题2：在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．那么这三个“一次”之间的关系是什么？ 师生活动：教师引导学生回答问题，并强调从代数和几何两方面的理解，注意数形结合的思想．师生共同总结如下： 设计意图：通过对三个“一次”的关系的总结，帮学生梳理函数和相应的方程、不等式之间的关系，为下面的探索做好铺垫． 问题3：类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？以函数为例． 师生活动：学生类比研究，应该有一部分学生可以获得思路．教师设计追问，引导学生思考． 追问1：教师用信息技术画出函数的图象，图象与x轴有两个交点，并在函数图象上任取一点P（x，y）．当点P在抛物线上移动时，请你观察：随着点P的移动，它的纵坐标的符号怎样变化？ 师生活动：学生观察思考后回答． 预设的答案：当点P移动到x轴上时，它的纵坐标等于0（即）；当点P移动到x轴上方时，它的纵坐标大于0（即）；当点P移动到x轴下方时，它的纵坐标小于0（即）． 追问2：当点P的纵坐标=0时、＞0时、＜0时所对应的横坐标x的取值范围分别是什么？ 师生活动：学生独立获得答案． 预设的答案：当=0时，即方程的解，并且也是二次函数的零点． 当＞0时，即不等式的解集是， 当＜0时，即不等式的解集是． 教师总结：利用函数的图象，可以求得不等式和的解集． 追问3：问题1中的解答是什么？（略．） 设计意图：在具体的例子中，类比三个“一次”的关系理解三个“二次”之间的关系，进一步感受用函数观点看方程和不等式，掌握利用函数求解方程和不等式的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力． 2．归纳一元二次不等式的一般解法． 问题4：求解一元二次不等式解集的方法，是否可以推广到一般的一元二次不等式？对于一般的一元二次方程一元二次不等式与相应的函数之间是否也具有类似的关系？请你完成下表． Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a＞0) ... ...