中小学教育资源及组卷应用平台 12.3 角的平分线的性质 目标梳理 学习目标 重点难点 1．通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理 2．能运用角的平分线性质解决简单的几何问题 3．进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤 4．进一步理解角平分线的判定及运用 5．掌握角平分线判定定理内容的证明方法并应用其解题 6．学会判断一个点是否在一个角的平分线上 1．重点：掌握角的平分线的性质定理，用直尺和圆规作角的平分线 2．难点：角平分线定理的应用 知识梳理 一、作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法：1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． 2．分别以点M，N为圆心，大于_____的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 3．画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 二、角的平分线的性质 内容：角的平分线上的点到角的两边的距离_____． 【提示】1．这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； 2．该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； 3．使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； 4．运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．21·cn·jy·com 三、证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行： 1．明确命题中的已知和求证； 2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 四、角的平分线的判定 1．内容：角的内部到角的两边的距离_____的点在角的平分线上． 2．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 一、2． MN 二、相等 三、相等 重点梳理 【重点01】角的平分线的性质 遇到已知一个点在某个_è§????????????????_时，一般过该点向角的两边作垂线，运用角的平分线上的点到角两边的距离相等寻找线段的相等关系，有时可结合全等三角形建立未知线段与已知线段的关系，从而求出待求线段．2-1-c-n-j-y 【重点02】角的平分线的判定 1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等． 2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等． 【重点03】角的平分线的性质的应用 证明角平分线_???????????????é??_从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想． 例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.21教育名师原创作品 求证：EB=FC. 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE=DF， ∠DEB=∠DFC=90 ° 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 例2 如图所示，D是∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F. 求证：CE＝CF.21*cnjy*com 证明：∵CD是∠ACG的平分线，DE⊥AC，DF⊥CG， ∴DE＝DF. 在Rt△CDE和Rt△CDF中， ∴Rt△CDE≌Rt△CDF(HL)， ∴CE＝CF. 例3 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.21教育网 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA， 垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 例4 如图所示，已知△AB_C??????PE???_AB交 ... ...
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