(
课件网) 向量法求二面角的计算 湖南省衡阳市衡南县衡云中学 高中数学教师欧阳文丰 1、二面角的平面角 ①方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为 其中AB D C L B A 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角。 L 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ， 则二面角 的大小 ＝〈 〉 2、二面角 若二面角 的大小为 , 则 ②法向量法 典型例题讲解 例1 在底面为平行四边形的四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角. 解答 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 设PA＝AB＝a，AC＝b，连接BD与AC交于点O，取AD中点F， ∴D(b，－a，0)，P(0，0，a)， ∴∠EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角). ∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°. 方法二 建系如方法一， ∵PA⊥平面ABCD， 设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z). ∴x＝0，y＝z.∴取m＝(0，1，1)， ∴平面AEC与平面ABCD的夹角为45°. （二面角为法向量的夹角的等角。） 反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的. (2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 典型例题讲解 （二面角为法向量的夹角的补角。） （注意：题目要求是求二面角的正弦值。） 4、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN= （2）a 为何值时？MN的长最小？ （3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成二面角的余弦值。 A B C D E F M N 跟踪训练1 若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝ ，求二面角A－PB－C的余弦值. 课堂练面PAB的法向量为m＝(x，y，z)， 设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)， 令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)， 又∵二面角A－PB－C是钝二面角， （二面角为法向量的夹角的补角。） 跟踪训练2如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝ PD. 求二面角Q－BP－C的余弦值． 答案：二面角Q－BP－C的余弦值为 .（二面角为法向量的夹角的等角。） 跟踪训练3如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC. 求二面角A1—BD—C1的余弦值． 答案：二面角A1－BD－C1的余弦值为 . （二面角为法向量的夹角的补角。） 4、如图6，在棱长为 的正方体 中， 分别是棱AB,BC上的动点，且 。 （1）求证： ； （2）当三棱锥 的体积取最大值时，求二面角 的正切值。 O’ C’ B’ A’ O A B C E F 图6 O’ C’ B’ A’ O A B C E F 图6 ... ...
