人教B版（2019）高中数学 选择性必修第三册 5.5　数学归纳法课件（32张PPT）+练习

第五章数列 5.5　数学归纳法 课后篇巩固提升 基础达标练 1.(2020巴楚第一中学高二期中)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.0 解析因为多边形的边数最少是3,即三角形,所以在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于3,故选C. 答案C 2.设Sk=+…+,则Sk+1为(　　) A.Sk+ B.Sk+ C.Sk+ D.Sk+ 解析因式子右边各分数的分母是连续正整数,则由 Sk=+…+, ① 得Sk+1=+…+. ② 由②-①,得Sk+1-Sk= =. 故Sk+1=Sk+. 答案C 3.(2020宁波高二月考)用数学归纳法证明+…+时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是(　　) A. B. C. D. 解析当n=k时,左边为+…+, 当n=k+1时,左边为+…+, 所以左边需添加的项是,选B. 答案B 4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为　　　　　　　　　　　　　　　.? 答案当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立 5.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)…(n+n)=2n-1·(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是　　　　　.? 解析当n=k时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k), 当n=k+1时,左端为(1+1)(2+2)…(k+k)(k+1+k+1), 由k到k+1需添加的因式为2k+2. 答案2k+2 6.(2020陕西西安一中高二期中)用数学归纳法证明:1+5+9+13+…+(4n-3)=2n2-n(n∈N+). 证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立. (2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立,即1+5+9+13+…+(4k-3)=2k2-k. 则当n=k+1时,1+5+9+13+…+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1) =2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1). 所以当n=k+1时,命题成立. 综合(1)(2)可知,原命题成立. 7.(2020江西南昌二中高二期末)数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=Sn+-2(n∈N+). (1)求S1,S2,S3,S4的值; (2)猜想数列{Sn}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论. 解(1)当n=1时,∵a1=S1=S1+-2,∴S1=. 又a2=S2-S1=S2+-2, ∴S2=, 同理S3=,S4=. (2)猜想Sn=(n∈N+). 下面用数学归纳法证明这个结论. ①当n=1时,结论成立. ②假设n=k(k∈N+,k≥1)时结论成立,即Sk=, 当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+-2, ∴=2-Sk. ∴Sk+1=, 即当n=k+1时结论成立. 由①②,知Sn=对任意的正整数n都成立. 能力提升练 1.利用数学归纳法证明+…+<1(n∈N+,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是(　　) A.增加了这一项 B.增加了两项 C.增加了两项,同时减少了这一项 D.以上都不对 解析不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为+…+;当n=k+1时,左端为+…+,对比两式,可得结论. 答案C 2.已知关于自然数n的命题P(n),由P(k)成立可以推出P(k+1)成立,若P(6)不成立,则下面结论正确的是 (　　) A.P(7)一定不成立 B.P(5)可能成立 C.P(2)一定不成立 D.P(4)不一定成立 解析∵P(n)对n=6不成立,无法判断当n>6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,∴假设不成立,故B错误;同理可得,当n<6时,P(n)一定不成立,故D错误,C正确.故选C. 答案C 3.(2020浙江诸暨中学高二月考)已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N+,都能使m整除f(n),则最大的m的值为(　　) A.30 B.9 C.36 D.6 解析由f(n)=(2n+7)·3n+9,得f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36, 由此猜想m=36. 下面用数学归纳法证明: (1)当n=1时,显然成立. (2)假设n=k时,f(k)能被36整除,即 f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除; 当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]-18+2×3k+1=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1). ∵3k-1-1是2的倍数, ∴18(3k-1-1)能被36整除, ∴当n=k+1时,f(n)也能被36整除. 由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除, m的最大值为36. 答案C 4.数列{an}中,已知a1=2,an+1=(n∈N+),依次计算出a2,a3 ... ...