压轴题突破练4 1．已知圆E与圆F：(x－2)2＋y2＝1相外切，且与直线x＋1＝0相切． (1)记圆心E的轨迹为曲线G，求G的方程； (2)过点P(3,2)的两条直线l1，l2与曲线G分别相交于点A，B和C，D，线段AB和CD的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的斜率之积等于1，求证：直线MN经过定点． (1)解 依题意得|EF|等于E到直线x＋2＝0的距离， 故所求轨迹是以F(2,0)为焦点，以x＝－2为准线的抛物线．故其轨迹曲线G的方程为y2＝8x. (2)证明 依题意直线l1，l2的斜率都存在且均不为0， 故设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为. 直线AB的方程为y－2＝k(x－3)， 即为y＝k(x－3)＋2. 由 消去x整理得ky2－8y－24k＋16＝0， 依题意Δ>0，所以yA＋yB＝， yA·yB＝－24＋，所以xA＋xB＝－＋6， 所以点M的坐标为， 以代替点M坐标中的k，可得点N的坐标为(4k2－2k＋3,4k)， 所以直线MN的斜率为 kMN＝＝， 所以直线MN的方程为 y－4k＝·[x－(4k2－2k＋3)]， 即y＝x＋1. 故MN经过定点(－1,0)． 2．(2020·泰安模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：f′(x1x2)<1－a. (1)解 由题意，可得a＝， 转化为函数g(x)＝与直线y＝a在(0，＋∞)上有两个不同交点， g′(x)＝(x>0)， 故当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0， 故g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以g(x)max＝g(1)＝1. 又g＝0，故当x∈时，g(x)<0，当x∈时，g(x)>0. 可得a∈(0,1)． (2)证明 f′(x)＝－a， 由(1)知，x1，x2是ln x－ax＋1＝0的两个根， 故ln x1－ax1＋1＝0， ln x2－ax2＋1＝0?a＝， 要证f′(x1x2)<1－a， 只需证x1x2>1， 即证ln x1＋ln x2>0， 即证(ax1－1)＋(ax2－1)>0， 即证a>， 即证>. 不妨设00， 则h(t)在(0,1)上单调递增，则h(t)
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