§3.1基本不等式 2002年国际数学家大会会标 一、创设情境、体会感知： 三国时期吴国数学家赵爽 弦图 数 学 是 思 维 的 体 操 a b Rt△的面积和是S’=＿＿ 如图,正方形ABCD的面积为S=_____， 赵爽弦图 易知，s≥s’,即 等号何时成立？ A D B C E F G H b a 一般地，对于任意实数a、b，有 当且仅当a=b时，等号成立。 A C B E(FGH) a b D 数 学 是 思 维 的 体 操 重要不等式 2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数。 2.代数证明: 3.几何意义：半弦长小于等于半径。 （当且仅当a=b时，等号成立） 二、合作探究、引入新知: 算术平均数 几何平均数 3.几何证明: 从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项。 1.思考:如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论? 基本不等式 三 、应用新知： 应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系 例1：(1) 已知 并指出等号成立的条件. (2) 已知 与2的大小关系,并说明理由. (3) 已知 能得到什么结论? 请说明理由. 三 、应用新知： 应用二：利用基本不等式证明不等式问题： 例2：设ａ，ｂ均为正数，证明不等式 也即 证明：因为a,b均为正数，由基本不等式，可 当且仅当a=b时，等号成立。 三、例题讲解,应用新知: 变式：已知x，y都是正数，求证： （1） 应用二：利用基本不等式证明不等式问题： （2） （1）（2）（3） B 练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式 其中恒成立的 。 练习2：若 ，则（ ） 四、创新演练，巩固新知： 四、创新演练，巩固新知： 练习3:已知a,b,c都是正数，求证： （1） （2） （3） 课本102页练习题 四、创新演练，巩固新知： 解析(3)：因为 ，所以有 则 整理，得 开方，得 (3)课本102页练习题： 四、创新演练，巩固新知： 想一想？ 由基本不等式，例1和练习题你能给出这几式子的大小关系吗？ 结论： 你会了吗？ 1、本节课主要内容？ 五 、课堂小结： 2.对基本不等式和例1及练习题的总结 利用基本不等式证明不等式： 1、已知a，b 是正数，且 求证： 2、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证: 3、证明： 六、课后提升： 证明:要证 只要证 ( ) ① ② 要证②，只要证 ( ) ③ 要证③，只要证（ － ) ④ 显然: 是成立的,当且仅当 时 ④ ④ 中的等号成立. 证明:当 时, . o a b A B P Q 1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP, 则半弦PQ=__ __,半径AO=_____ 几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长 你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 2.PQ与AO的大小关系怎样?
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