y -2 0 2 4 6 x 8 6 4 2 -2 -4 普通高中课程标准实验教科书 人教A版数学必修1第三章 函数的应用 3.1.1节 函数的零点 1.理解函数零点的概念； 2.会求简单函数的零点 ； 3.理解函数图像与x轴的交点的横坐标和相应方程的实数根的关系； 4.理解零点存在性定理。 学习 目 标 引例： 已知函数y=x2－x－6， ⑴当x为何值时，y=0?⑵作出函数的简图. ⑴解：令y=0， x2-x-6=0 （x－3）（x＋2）=0 x1=－2,x2=3 ∴当x = －2或3时，y=0 令y=0即x2-x-6=0的实根 是x1=－2,x2=3 y -2 0 2 3 4 6 x 6 4 2 -2 -4 -6 f(－2)=0,f(3)=0 y -2 0 2 3 4 6 x 6 4 2 -2 -4 -6 发现： -2 3 方程x2-x-6=0的实根 x1=－2, x2=3 f(x)=x2-x-6 函数f(x)=x2-x-6与x轴交点的横坐标－2, 3 -2和3叫做函数的零点 解：（1）对应方程x2－2x－3 =0 △=4+12=16>0 方程有两根，故函数有两个零点。 （2）对应方程x2－2x＋1 =0 △=4-4=0 方程有一根 ，故函数有一个零点。 （3）对应方程x2－2x＋3 =0 △=－8﹤0 方程无实根，故函数没有零点。 练习:判断下列一元二次函数有几个零点。 转化 函数的零点 方程ax2 +bx+c=0 (a≠0)的根 函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象 判别式△ = b2－4ac △＞0 △=0 △＜0 函数的图象 与 x 轴的交点 有两个相等的 实数根x1 = x2 没有实数根 (x1,0) , (x2,0) (x1,0) 没有交点 两个不相等 的实数根x1 、x2 两个零点x1, x2 一个二重零点x1 无零点 判断二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）零点的个数 二次函数的零点个数可用判别式△判断。 函数零点的定义: 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. 生成概念： 方程f(x) =0 的实数根 函数y=f(x)的零点 函数零点方程根， 形数本是同根生。 形 数 函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标 等价关系 o x y (1,0) (-2,0) 0, 4 -2, 1 （2）图像法。 小试牛刀： 零点不是一个点，而是一个实数。 总结：求函数零点的方法 （1）代数法； 判断下列方程有无实根，若有实根，有几个？ 问题情景： 如何求不能用公式求解的方程的根呢？ 转化 （1） （2） 问题1：看电影时，我们会错过一些镜头，但我们仍能推测出被忽略的片段。现我们有以下两组镜头，哪一组镜头说明小孩的行程一定曾渡过河？ 生活情景： 问题2：将河流抽象成x轴，将前后两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴有怎样的位置关系时，A、B间的一段连续不断的函数图象与x轴一定会有交点？ 问题3：满足条件的函数图象与x轴的交点一定在（a，b）内吗？即函数的零点一定在（a，b）内吗？ 问题4：如图，函数y=f(x)在[a,b]的图象，A、B是函数图象的端点，A、B在x轴的上下两侧的位置关系，如何用数学式子来表示？ 表示点A、B在x轴的两侧。 零点存在性定理： 如果函数y=f(x)在区间 上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数y=f(x)在区间 ，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根. 生成概念： 连续不断 f(a)·f(b)<0 (a,b)内有零点 [a,b] 例1:判断下列方程有无实根，若有实根，有几个？ 典例分析： A(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) A(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 典例分析： B B 2. 方法： 3. 思想: 1. 知识: 函数零点的概念、零点存在定理 求函数零点的方法 数形结合、函数与方程 从特殊到一般的数学思想. 课堂小结 ... ...
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