人教A版必修1 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点 问题·探索 问题：判断下面方程是否有实根，有几个实根？ x2－ 2x－ 3=0 问题探究 x y o 方程 x2－2x－3=0 方程的 实数根 －1, 3 函数 f(x)= x2－2x－3 (－1,0)、(3,0) 方程的根 对应函数图像与x轴交点的横坐标 就是 函数图象 与x轴交点 函数图象 与x轴交点的横坐标 －1, 3 f(x)=x2－ 2x－ 3 零点 函数零点的概念： 对于函数 y=f(x)，我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 思考？ 1、我们可不可以这样认为，零点就是一个点？ 2、结合函数零点的定义和问题探究，你认为方程的根与函数的零点究竟是什么关系？ 归纳总结·形成概念 方程f (x)=0 的实数根 函数y=f (x)的图象 与x 轴交点的横坐标 函数y=f (x) 的零点 5 函数 y=f(x)有零点 方程的根与函数零点的等价关系 方程f(x)=0有实根 函数 y=f(x)的图像与x轴有交点 数 形 统一体 归纳总结·形成概念 例1 判断下列函数是否有零点，分别是多少？ 零点的求法2（“形”的角度） 零点的求法1（“数”角度） （1）1 （2）无 （3）-1，3，6 问题再探究 我们再观察 函数 f(x)=x2-2x-3 的图像 函数零点左右两侧函数值异号 问：函数在区间[-2,1]是否有零点？ 计算： f(-2)f(1)的值有什么特点？在[2,4]上是否也具有这种特点呢？ x y o 思考：函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间 (a, b) 上存在零点？ f(-2)f(1)<0 f(2)f(4)<0 零点存在性定理 如果函数 y=f(x) 在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)?f(b)<0，那么，函数 y=f(x) 在区间(a, b)内有零点. 即存在c∈(a, b)，使得 f(c)=0，这个c 也就是方程 f(x)=0 的根． 建构数学 定理理解 思考1 若只给条件f(a) · f(b)<0能否保证在(a,b)有零点？ 注1:函数y=f(x)在（a，b）存在零点必须同时满足： (1)函数在[a，b]连续； (2)f(a)·f(b) <0. 定理理解 思考2 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断曲线，那么当f(a)·f(b)>0时，y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？ 注2:若f(x)在区间[a，b]连续且f(a)·f(b)>0，则f(x)在（a，b）也可能有零点. 定理理解 思考3 满足定理条件的零点唯一吗？什么情况零点唯一？ 注3:(1)定理只能判断存在性，不能确定有多少个零点； （2）若f(x)是单调函数，并在区间[a，b]连续且f(a)·f(b)<0，则f(x)在（a，b）有唯一零点. 说明函数在区间(e-1,e)内有零点. 根据函数单调性的性质可知函数f(x)=lnx+2x－6在定义域(0,+∞)内是增函数. 例2讨论f(x)=lnx+2x－6在区间[e-1,e]上零点的存在性及个数. 应用与实践 下面给出证明:任取x1、x2>0,不妨x1
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