3．1 回归分析的基本思想及其初步应用 内 容 标 准 学 科 素 养 1.能知道用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法．2.会利用散点图分析两个变量是否存在相关关系，会用残差及R2来刻画线性回归模型的拟合效果．3.能记住建立回归模型的方法和步骤；能知道如何利用线性回归模型求非线性回归模型. 利用数据分析提升数学建模及数学运算 授课提示：对应学生用书第51页 [基础认识] 知识点一 线性回归模型 “名师出高徒”这句谚语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？ 某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元 2 3 3 4 5 请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？ 提示：画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系． 设所求的线性回归方程为＝x＋， 则＝＝＝0.5， ＝－＝0.4. 所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为 ＝0.5x＋0.4. 知识梳理 1.概念：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． 2．步骤：画散点图→求回归方程→用回归方程进行预报． 3．在线性回归方程＝＋x中，＝＝，＝－，其中＝i，＝i，(，)称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心． 4．线性回归模型y＝bx＋a＋e，其中e称为随机误差，自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量． 知识点二 刻画回归效果的方式 (1)具有相关关系的两个变量的回归方程是唯一的吗？ (2)预报变量与真实值y一样吗？ (3)预报值与真实值y之间误差大了好还是小了好？ 提示：(1)不一定． (2)不一样． (3)越小越好． 知识梳理 1.残差平方和法 (1)i＝yi－i＝yi－xi－(i＝1,2，…，n)称为相应于点(xi，yi)的残差． (2)残差平方和(yi－i)2越小，模型的拟合效果越好． 2．残差图法 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适．这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高． 3．利用相关指数R2刻画回归效果 其计算公式为：R2＝1－，其几何意义：R2越接近于1，表示回归的效果越好． 知识点三 建立回归模型的基本步骤 知识梳理 确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量． 画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)． 由经验确定回归方程的类型(如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程)． 按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数． 得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)．若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等． [自我检测] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)残差平方和越小，线性回归模型的拟合效果越好．( ) (2)在画两个变量的散点图时，预报变量在x轴上，解释变量在y轴上．( ) (3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× 2．如果记录了x，y的几组数据分别为(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么y关于x的线性回归直线必过点( ) A．(2,2) B．(1.5,2) C．(1,2) D．(1.5,4) 答案：D 3．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为_____． 答案：正相关 授课提示：对应学生用书第52页 探究一 求线性回归方程 [阅读教材P81例1]从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表所示. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据女大学生 ... ...
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