§1 椭 圆 1.1 椭圆及其标准方程 授课提示:对应学生用书第12页 一、椭圆的定义 我们把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点F1,F2叫作椭圆的焦点,两焦点F1,F2间的距离叫作椭圆的焦距. 二、椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) a、b、c的关系 a2=b2+c2 [疑难提示] 求椭圆标准方程时应注意的问题 (1)确定椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面. “定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置,即在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式;“定量”则是指确定a2、b2的具体数值,常用待定系数法. (2)当椭圆的焦点位置不明确(无法确定)求其标准方程时,可设方程为+=1(m>0,n>0且m≠n),从而避免讨论和繁杂的计算;也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0且A≠B),这种形式在解题中较为方便. [练一练] 1.已知在平面直角坐标系中,点A(-3,0),B(3,0),点P为一动点,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),给出下列说法: ①当a=2时,点P的轨迹不存在; ②当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为3; ③当a=4时,点P的轨迹是椭圆,且焦距为6; ④当a=3时,点P的轨迹是以AB为直径的圆. 其中正确的说法是_____(填序号). 解析:当a=2时,2a=4<|AB|,故点P的轨迹不存在,①正确;当a=4时,2a=8>|AB|,故点P的轨迹是椭圆,且焦距为|AB|=6,②错误;③正确;当a=3时,点P的轨迹为线段AB,④错误. 答案:①③ 2.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是_____. 解析:由10-k>k-5>0,得5|F1F2|=2.∴点M的轨迹是椭圆,且椭圆的焦点为F1(0,1)和F2(0,-1). ∴2c=2,c=1,2a=4,a=2. ∴点M的轨迹方程为+=1. 到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点的距离的轨迹是椭圆.特别注意焦点的位置及a,b,c的关系. 1.已知椭圆C上任意一点P(x,y)都满足关系式+=4,则椭圆C的标准方程为( ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+y2=1 解析:由题设可知椭圆C的焦点在x轴上,且2a=4,c=1,故a=2,b2=3,所以椭圆C的标准方程为+=1. 答案:B 2.求焦点在坐标轴上,且过点A(2,0)和B的椭圆的标准方程. 解析:解法一 若焦点在x轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0), 依题意,有解得a2=4,b2=1. 若焦点在y轴上,设椭圆方程为+=1(a>b>0),同理这与a>b矛盾. 故所求椭圆方程为+y2=1. 解法二 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 将A,B坐标代入得 解得故所求椭圆方程为+y2=1. 探究二 椭圆定义的应用 [典例2] 如图所示,已知椭圆的方程为+=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,求△PF1F2的面积. [解析] 由已知a=2,b=, 所以c===1,|F1F2|=2c=2, 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|cos 120°, 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② ②代入①解得|PF1|=, ∴S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|·sin 120° =××2×=, 即△PF1F2的面积是. 椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1、F2构成的△F1PF2称为焦点三角形,解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定 ... ...
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