方程的根与函数的零点 [A组 学业达标] 1．函数f(x)＝x＋的零点的个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数f(x)的定义域为{x|x≠0}， 当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0， 但此函数在定义域内的图象不连续， 所以函数没有零点，故选A. 答案：A 2．函数f(x)＝x＋ln x的零点所在的区间为( ) A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(1，e) 解析：法一：因为x>0，所以A错．又因为f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上为增函数，f(1)＝1>0，所以f(x)＝x＋ln x在(1,2)，(1，e)上均有f(x)>0，故C、D错． 法二：取x＝∈(0,1)，因为f＝－1<0，f(1)＝1>0，所以f(x)＝x＋ln x的零点所在的区间为(0,1)． 答案：B 3．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则( ) A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解 C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解 解析：∵函数f(x)的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f(－1)·f(3)<0，但方程f(x)＝0在(－1,3)上可能无实数解． 答案：D 4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是( ) A．a<α
0 8．求函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数． 解析：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0， 即log2x＝x－2. 令y1＝log2x，y2＝x－2. 画出两个函数的大致图象，如图所示． 由图可知，两个函数有两个不同的交点． 所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点． 9．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1. (1)当m为何值时，函数有两个零点，一个零点、无零点； (2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值． 解析：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜. 由Δ＝0，可解得m＝；由Δ＜0，可解得m＞. 故当m＜时，函数有两个零点； 当m＝时，函数有一个零点； 当m＞时，函数无零点． (2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1. [B组 能力提升] 1．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 009个，则f(x)的零点的个数为( ) A．1 007 B．1 008 C．2 018 D．2 019 解析：∵f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)内有1 009个零点，∴在(－∞，0)上也有1 009个零点，又∵f(0)＝0，∴共有2 018＋1＝2 019个． 答案：D 2．函数f(x)＝的零点个数为( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0， 解得x＝－3； 当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2， 所以函数f(x)＝有2个零点． 答案：C 3．方程ln x＝8－2x的实数根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝_____. 解析：令f(x)＝ln x＋2x－8，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ∵f(3)＝ln 3－2<0，f(4)＝ln 4>0， ∴零点在(3,4)上， ∴k＝3. 答案：3 4．已知 ... ... 