课时素养评价 二十二 向量应用举例 (15分钟 30分) 1.已知在△ABC中,=a,=b,且a·b<0,则△ABC的形状为 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选A.因为a·b=|a||b|cos ∠BAC<0,所以cos ∠BAC<0,所以90°< ∠BAC<180°,故△ABC是钝角三角形. 2.如图所示,一力作用在小车上,其中力F的大小为10牛,方向与水平面成60°角,当小车向前运动10米时,力F做的功为 ( ) A.100焦耳 B.50焦耳 C.50焦耳 D.200焦耳 【解析】选B.设小车位移为s,则|s|=10米,WF=F·s= |F||s|·cos 60°=10×10×=50(焦耳). 3.过点A(2,3),且垂直于向量a=(2,1)的直线方程为 ( ) A.2x+y-7=0 B.2x+y+7=0 C.x-2y+4=0 D.x-2y-4=0 【解析】选A.设P(x,y)为直线上一点,则⊥a, 即(2-x)×2+(3-y)×1=0,即2x+y-7=0. 4.在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(2,0),E,F是y轴上的两个动点,且||=2,则·的最小值为 .? 【解析】设点E,F的坐标分别为(0,m),(0,m+2),则=(1,m),=(-2,m+2),所以·=(m+1)2-3,当m=-1时,·取最小值-3. 答案:-3 5.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1. (1)|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况如何? (2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围. 【解析】(1)由力的平衡原理知,G+F1+F2=0, 作向量=F1,=F2,=-G,则+=,所以四边形OACB为平行四边形, 由已知∠AOC=θ,∠BOC=90°, 所以||=,||=||=||tan θ. 即|F1|=,|F2|=|G|tan θ,θ∈. 由此可知,当θ从0°逐渐增大趋向于90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大. (2)当|F1|≤2|G|时,有≤2|G|, 所以cos θ≥,又0°≤θ<90°,所以0°≤θ≤60°. (30分钟 60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知点O是△ABC的外心,AB=2,AC=3,则·= ( ) A.- B. C. D.- 【解析】选C.如图所示. 取弦AC的中点D,则OD⊥AC,所以·=(+)·=·+·=+0=, 同理可得·=, ·=·-·=-=×32-×22=. 2.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40 m/s,则鹰的飞行速度为 ( ) A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s 【解析】选C.设鹰的飞行速度为v1,鹰在地面上的影子的速度为v2,则|v2|=40 m/s,因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下,故|v1|==(m/s). 3.已知△ABC是边长为2的等边三角形,D为BC的中点,且=,则·= ( ) A. B.1 C. D.3 【解析】选D.由题意,设=a,=b,则|a|=2,|b|=2,且a与b的夹角为60°,又由向量的运算法则可得=(a+b),=a+b, 所以·=· =a2+a·b+b2 =×22+|a|·|b|cos 60°+×22 =+×2×2×+=3. 4.已知点O是△ABC内部一点,并且满足+2+ 3=0,△BOC的面积为S1,△ABC的面积为S2,则= ( ) A. B. C. D. 【解析】选A.因为+2+3=0, 所以+=-2(+), 分别取AC,BC的中点D,E,则+=2,+=2. 所以=-2,即O,D,E三点共线且||=2||.如图所示, 则S△OBC=S△DBC,由于D为AC中点, 所以S△DBC=S△ABC,所以S△OBC=S△ABC,即=. 【误区警示】本题中易找不到思路从而选不出正确结果. 5.直线l经过点P(1,0),且圆x2+y2-4x-2y+1=0上到直线l距离为1的点恰好有3个,满足条件的直线l有 ( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 【解题指南】方法一:先将圆的方程化成标准式,求出圆心与点P的距离为(圆心到直线l的最大距离),而圆心C到直线的距离刚好为1(1<)时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,由几何知识可知这样的直线有两条. 方法二:依据圆心C到直线的距离刚好为1时,即可满足圆上恰好有三个点到直线的距离为1,用点到直线的距离公式算出即可知. 【解析】选C.方法一:x2+y2-4x-2y+1=0可变形为(x-2)2+(y-1)2=4, 所以圆心 ... ...
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