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课件网) 函数在 上为____函数， 在 上为____函数。 判断函数单调性有哪些方法？ 比如：判断函数 的单调性。 x y o 图象法 定义法 减 增 1.图象法（如图）： 2.定义法：（证明此函数在（－∞，0）上单调递减） 证明:任取x1,x2∈（－∞，0）且x1＜x2,有 f(x1)-f(x2)=x12-x22 =(x1+x2)(x1-x2) ∵ x1,x2∈（－∞，0）且x1＜x2 ∴ (x1+x2)＜0，(x1-x2)＜0 ∴ f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＜f(x2) ∴函数 f(x)=x2在（－∞，0）上单调递减 + ） (0, 动态 演示 单调性 f′(x) 函数及图象 切线斜率 的正负 x y o 负 正 ＜0 ＞0 = 在区间(－∞，0)内，切线的斜率为负，函数f(x)=x2的值随着x的增大而减小，即f’(x)<0时，函数f(x)在区间(－∞，0)内为减函数。 在区间(0，+∞)内，切线的斜率为正，函数f(x)=x2的值随着x的增大而增大，即f’(x)>0时，函数f(x)在区间(0，+∞)内为增函数。 x y O x y O x y O x y O y = x y = x2 y = x3 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 在某个区间(a,b)内,如果 ,那么函数 在这个区间内单调递增; 如果 ,那么函数 在这个区间内单调递减. 如果恒有 ，则 是常数。 注意： 应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义， 它必是定义域内的某个区间。 结论： 例1 已知导函数 的下列信息: 当1 < x < 4 时, 当 x > 4 , 或 x < 1时, 当 x = 4 , 或 x = 1时, 试画出函数 的图象的大致形状. 解: 当1 < x < 4 时, 可知 在此区间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, 可知 在此区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1时, 综上, 函数 图象的大致形状如右图所示. x y O 1 4 例2、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。 一般地, 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 在 或 内的图象“陡峭”,在 或 内的图象平缓. x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 2 (A) (B) (C) (D) C 设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ) B x y o 练习: 求函数的单调区间: f (x)=x/2+sinx; 例3.试应用导数判断函数在相应区间的单调性 (选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”) (1) 函数y=x－3在[－3，5]上为_____函数。 (2) 函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为_____函数， 在(－∞,1]上为_____函数，在[1,2]上为__ _____函数。 增 增 减 既不是增函数,也不是减函数 求函数 的单调区间。 变1：求函数 的单调区间。 解： 的单调递增区间为 变3：求函数 的单调区间。 变2：求函数 的单调区间。 巩固提高： 解: 解: 的单调递减区间为 解： 的单调递增区间为 的单调递减区间为 总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难 画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。 ①判断定义域. ②求 ③令 ④求单调区间 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？ 2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ 变式 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 解: (1) 因为 , 所以 因此, 函数 在 上单调递增. (2) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减. 变式 判断下列函数的单调性, 并求出单调区间: 解: (3) 因为 , 所以 因此, 函数 在 上单调递减. (4) 因为 , 所以 当 , 即 时, 函数 单调递增; 当 , 即 时, 函数 单调递减. 练习 P26 2 2.函数 的图象如图所示, 试画出导函数 图象的大致形状 练习 练习 3.讨论二次函数 的单调区间. 解: 由 , 得 , 即函数 的递增区间 ... ...
